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Rektorats Reden © Prof. Schwinges

Das Problem des mathematischen Vortrages.

Die Gründung der Volksbildungskurse, die in das verflossene Universitätsjahr fällt, zwingt die Vertreter der exakten Naturwissenschaften, eine Reihe von Fragen aufzuwerfen. Die wichtigste unter ihnen ist: Wie ist es möglich, Erkenntnisse, die sich aus einer Reihe von Abstraktionen aufbauen, einem Kreise zu vermitteln, der des abstrakten Denkens völlig ungewohnt ist? Die Mathematik scheint zur erfolgreichen Beantwortung dieser Frage eine besonders spröde Materie zu sein; ist doch ihr ganzes Wesen in der abstrakten Verarbeitung des Zahlbegriffes und der Raumvorstellung begründet. Die Kunst ihres Vortrages ist deshalb ein Problem, dessen Schwierigkeiten nachzugehen und dessen zum Ziele führende Methoden festzustellen sich wohl verlohnt. Ihm aus dem Wege zu geben, wäre ein Fehler, wie ihn frühere Zeiten oft begangen haben. Ich erinnere nur an das hochmütige Wort Euklids, der dem König Ptolemäus auf die Frage, ob er keinen andern Weg zum Erlernen der Geometrie als die "Elemente" wisse, erklärte, dass es keinen Königsweg gebe. 1)

Was wird von einem guten mathematischen Vortrage verlangt? Sicherlich nicht nur die Eigenschaften, die jede treffliche Rede besitzen muss. Anatole France soll die drei Haupteigenschaften eines guten Stiles darin gesehen haben, dass er Klarheit, Klarheit und noch einmal Klarheit besitze. Ein Mathemathiker jedoch kann in vollkommenster Klarheit Ihnen seine Gedanken darlegen, ohne dass Sie seine Entwicklungen aufzunehmen vermögen; denn der Vortragende knüpft an Vorstellungen an und benutzt Begriffe, die Ihnen fremd oder nicht geläufig sind. Soll der mathematische Vortrag verständlich sein, so muss er der Begriffs- und Gefühlswelt seiner Zuhörer angepasst

gepasst sein. Er darf keine Worte enthalten, deren Sinn nicht ein lebendiger Bestandteil ihres Wissens ist. Auch ein Vortrag, der die Definition jedes Begriffes klar und exakt enthielte, bliebe unverständlich; denn die logische Erfassung ist noch keine Erkenntnis. Erst die Verknüpfung eines Begriffes mit dem bisherigen Schatz der Vorstellungen macht ihn zum persönlichen Eigentum. Beispielsweise wird trotz der klaren Einteilung des Tages in 24 statt in zweimal 12 Stunden der Ausdruck 16 h zunächst unverständlich sein und nur die Umrechnung 16-12 = 4 wird das lebendige Bild 4 h abends erwecken. Nach einiger Zeit erst wird durch 16 h diese Vorstellung direkt vermittelt werden.

Das Problem des mathematischen Vortrages stellt sich also so dar: Wie kann die Kluft zwischen dem Vortragsstoff und der Aufnahmefähigkeit der Zuhörer überbrückt werden, und wie können die letztem allmählich in die mathematische Begriffswelt eingeführt werden? Diese Aufgabe ist im Laufe der Zeit von verschiedenen Forschern aufs glänzendste erledigt worden. Ich werde im folgenden aus der grossen Zahl epochemachender Lösungen drei herausgreifen und versuchen, an ihrer Hand das Geheimnis des richtigen mathematischen Vortrages herauszuschälen. Jedes der drei Werke wird in seiner Art charakteristisch sein und ist in Gesprächsform gehalten oder aus einem Vortrage entstanden. Die Methode, aus der Vergangenheit für Gegenwart und Zukunft wertvolles herauszuholen, ist für die Mathematik unentbehrlich. Ist doch kaum eine andere Disziplin so mit dem Frühern verwachsen, hat einen so durch, und durch aufbauenden Typus, wie gerade sie.

Die drei Werke verteilen sich auf die verflossenen drei Jahrhunderte. Ich beginne mit dem ältesten, den "Entretiens sur la Pluralité des mondes" von Bernard le Bovier de Fontenelle, die 1686 in Paris erschienen sind. 1) Fontenelle stellte sich die Aufgabe, die Vorstellung des Kopernikanischen Weltsystems und. der Descartesschen Wirbeltheorie jedermann zugänglich zu machen, ohne mehr Anstrengungen zu verlangen als etwa die Lektüre der "Princesse de Clèves". Das Kopernikanische System

war 1543 in dem Werk "De revolutionibus orbium caelestium"1) veröffentlicht worden und bekanntlich auf grossen Widerstand gestossen. 1644 hatte Descartes in seinen "Principia philosophiae"2) eine mechanische Erklärung durch seine Wirbeltheorie zu geben versucht. Volle 143 Jahre nach Kopernikus erscheint Fontenelles Popularisierung, ein Jahr bevor Newtons "Principia philosophiae naturalis"3) endgültig Descartes Wirbeltheorie in den Hintergrund drängte und Kopernikus' Vorstellung auf eine neue Grundlage stellte. Ein wehmütiges "zu spät"liegt daher für den Wissenschaftler über der "Pluralité des mondes", ein Merkzeichen, wie lange Erkenntnisse brauchen, um Allgemeingut zu werden. Fontenelles Werk hatte einen enormen Erfolg. Schon 1708 lag die 6. Auflage vor. Übersetzungen in alle Sprachen erschienen, z. B. 1698 in kerniger deutscher Sprache unter dem Titel: "Gespräche von mehr als einer Welt zwischen einem Frauen-Zimmer und einem Gelehrten". 4) Der Inhalt der "Pluralité des mondes" ist astronomisch, die Schwierigkeiten der Darstellung aber betreffen ausschliesslich die geometrische Anschauung und Begriffsbildung. Das Werk fügt sich also völlig unserm Gesichtskreis ein.

- Zunächst einige Worte über den Verfasser. Fontenelle, geboren am 11. Februar 1657 in Rouen, war Neffe der beiden Corneilles und verfasste schon mit 13 Jahren als frühreifer Schüler des Jesuitenkollegiums ein beachtetes lateinisches Gedicht über die unbefleckte Empfängnis. 5) Mit 19 Jahren kam er nach Paris, versuchte sich in rein literarischen Erzeugnissen, wie den "lettres galantes", einer Sammlung geistreicher Bosheiten, dann in philosophischen und warf sich schliesslich auf die Popularisierung der exakten Wissenschaften. Der grosse Erfolg, der ihm hierin beschieden war, öffnete ihm die Tore der Akademien.

Sicherlich hat er sich gleichzeitig tief in die damaligen entscheidenden Entdeckungen der Differential- und Integralrechnung eingearbeitet. Als Verfasser der Vorrede des ersten Lehrbuches der Differentialrechnung, der "Analyse des infiniment petits" des Marquis de l'Hôpital 1)(1696), als Autor der Geschichte der Mitglieder der ,,académie des sciences" zeigt er sich im Vollbesitze der damaligen mathematischen Wissenschaften. Vergegenwärtigt man sich die Schwierigkeiten, die das Verstehen der Infinitesimalrechnung damals bot, so muss man seine Arbeitskraft und seinen Scharfsinn bewundern. Fontenelle blieb zeitlebens in Paris der gesuchteste und geistreichste Unterhaltet und Akademiker. In keinem massgebenden Salon durfte er fehlen. Einen Monat vor seinem 100. Geburtstage starb er, trotz seines Alters ein Liebling der Frauen. "Il fallait qu'il eût bien des agréments pour leur dérober un si grand défaut", bemerkt spöttisch sein Lobredner. 2)

Fontenelle war und blieb in seiner Lebensauffassung und in seinen naturwissenschaftlichen Ansichten Cartesianer. 3) Er ist in alle Zweige der Wissenschaften tief eingedrungen, war also keiner der heute so zahlreichen naturwissenschaftlichen Schwätzer, die wohl den Feuilletonstil, nicht aber den Stoff beherrschen. Im Vollbesitze aller Erkenntnisse war er zur Popularisierung prädestiniert. Trotz seiner literarischen Allüren hatte er meiner Meinung nach völlig die Mentalität des Mathematikers. 4) Einesteils der allergrösste Wunsch, alles zu verstehen, in allem klar zu sehen, andernteils die allergrösste Skepsis jeder Theorie gegenüber. Das prekäre jedes Standpunktes ist ihm überall feststehend.

Er sucht diese Ansicht dem Leser seiner ,,Pluralité des mondes" eindrücklich zu übermitteln. Paradox meint er: ,,Les vrais philosophes passent leur vie à ne point croire ce qu'il voyent, et à tâcher de deviner ce qu'ils ne voyent point";1) oder: "il faut ne donner que la moitié de son esprit aux choses ... que l'on croit, et en réserver une autre moitié libre, où le contraire puisse être admis, s'il en est besoin."2) In der Übermittlung dieses hohen kritischen Standpunktes scheint mir die grösste Bedeutung der ,,Pluralité des mondes"für seine Zeit zu liegen. 3) Fontenelle hat damit, wie Lanson 4) hervorkehrt, einen nachhaltigern Schlag gegen Vorurteile und religiöse Befangenheit geführt als durch direkte Bekämpfung.

Doch zurück zum Problem des mathematischen Vortrages. Sehen wir, welches die Bemühungen Fontenelles zu seiner Lösung sind. In erster Linie heisst es, das Interesse des Zuhörers so zu fesseln, dass er auch gegen seinen Willen zu schwierigern Überlegungen verlockt wird. Dazu dient die äussere Einkleidung der ,,Pluralité des mondes". Ein weltgewandter Gelehrter erteilt in Form von Gesprächen den Unterricht an eine junge, schöne Markgräfin, nach des Tages Hitze in der abendlichen Ruhe eines lauschigen Schlossparkes. Ein wolkenloser Himmel lässt die Pracht der Sterne und des aufgehenden Mondes bewundern. Der Gelehrte vermeidet jeden Schein pedantischer Gelehrsamkeit und sucht nicht zu unterrichten, sondern zu unterhalten. 5) Der Ton des Gespräches ist völlig mondän; der galante Streit über den Vorzug blonder oder brünetter Frauen führt zum Wechsel von Tag und Nacht. Bekannte Romane, wie die ,,l'astrée"6) oder Ariosts rasender Rolland mit seiner Reise Astolfs auf den Mond werden hinzugezogen. 7) Geistreiche Paradoxien würzen die Unterhaltung: "C'est beaucoup d'ignorance

sur bien peu de science"1) oder "La préséance de deux Planètes ne sera jamais une si grande affaire que celle de deux ambassadeurs" 2)

Ein zweiter Punkt ist die völlige Anpassung der Begriffswelt an diejenige des Zuhörers. Die Markgräfin weiss besser zu empfinden als zu denken. Darum lässt Fontenelle alle Himmelskörper von empfindsamen Wesen bewohnt sein, die den Himmel mit unsern Augen betrachten. Es ist nicht gleichgültig, ob ich sage, der Mond dreht sich in einem Monat um sich selbst, oder ob ich bemerke, dass der Mondbewohner die Erde stets fast genau am selben Orte sieht, und doch kommt beides auf dasselbe heraus. Selbstverständlich betont Fontenelle deutlich, dass ihn nichts zur Hypothese der Himmelsbewohner zwinge; ihre Annahme ist eine bewusste Methode, um die Verschiedenheiten des Himmels anschaulich zu gestalten. Aus dem Ton der ganzen Unterhaltung ergibt sich als weitere Anpassung an den Zuhörer die völlige Vermeidung technischer Worte, wie Radius, Ellipse u. s. f.

Ein dritter Punkt ist die glückliche Wahl von Beispielen des gewöhnlichen Lebens, die das himmlische Geschehen illustrieren. Die doppelte Bewegung der Erde wird mit der Bewegung eines Balles auf dem Sandboden verglichen, 3) der Begriff des Gleichgewichtes an Öl, das auf Wasser schwimmt, erklärt. 4) Der Astronom steht den Bewegungen der Himmelskörper gegenüber wie der Besucher der Oper, der nicht sieht, was der Maschinist treibt. 5)

Ein letzter Punkt betrifft die Mitarbeit der Schülerin. In feiner Weise lässt Fontenelle die Markgräfin Gedankengänge vollenden. Er spornt sie dadurch an und zeigt ihr, wie einfach und notgedrungen sich alles aus dem einmal erfassten Standpunkt ergibt.

Die glänzende Durchführung dieser vier Punkte lässt noch heute den ungeheuern Erfolg und den Einfluss der ,,Pluralité des mondes" auf seine Zeit verstehen.

Zu einer wesentlich andern Aufgabe führt das nächste Werk, das ich betrachten will, die Algebra Leonhard Eulers vom Jahre 1770. 1) Euler hat 1735 achtundzwanzigjährig sein rechtes Auge durch übertriebene Arbeit verloren 2) und ist 1766 vollständig erblindet. 3) Die Absicht, nach dem Verlust der Sehkraft die Stärke seines Gedächtnisses zu erproben, soll in ihm den Gedanken erweckt haben, "ein Lehrbuch zu verfertigen, aus welchem ein jeder ohne einige Beyhülffe die Algebra leicht fassen und gründlich erlernen könne."4) Um dies zu erreichen, erprobte Euler die Verständlichkeit seiner Deduktionen an einem Schneidergesellen von mittelmässiger Begabung, den er aus Berlin "zur Aufwartung"5) mitgenommen hatte. Dieser junge Mann, dessen Name und Alter die Geschichte nicht überliefert hat, durfte bei Euler einen der ersten überlieferten Volksbildungskurse mitmachen. Der Erfolg soll ein so vollkommener gewesen sein, dass der Bursche nachher "alle ihm vorgelegte Algebraische Aufgaben mit vieler Fertigkeit aufzulösen"6) imstande war. Das Protokoll des Unterrichts ist die berühmte Eulersche Algebra, von der das Vorwort noch zu sagen weiss: "Dieses preiset um so viel mehr den Vortrag und die Lehr-Art des gegenwärtigen Werkes an; da der Lehrling der es geschrieben, begriffen und ausgeführet, sonsten nicht die geringste Hülffe von irgend einem andern als seinem zwar berühmten, aber des Gesichts beraubten Lehrers, genossen."7)

Ich lasse das grosse mathematische Interesse des Werkes beiseite und frage, welches ist das geheimnisvolle Rezept von Eulers Vortrag, um diesen Erfolg zu erzielen? Die Aufgabe war insofern einfacher als bei Fontenelle, da Euler den Zuhörer nicht durch äussere Ausschmückung zu seinen Gedankengängen locken musste; war es doch der von ihm bezahlte Diener, dem er "zu

schreiben befahl". 1) Immerhin musste es Euler daran gelegen sein, das Interesse seines Lehrlings wachzuhalten und ihn anzuspornen. Dazu zeigt er ihm, besonders im ersten Teil, auf Schritt und Tritt, wie ungeheuer nützlich die Rechenkunst im gewöhnlichen Leben ist. Die Proportionslehre dient beispielsweise sofort zur Umrechnung von Geldsorten. 2) Leiden wir heute an den Valutaverhältnissen, so krankte das 18. Jahrhundert an den unzähligen Münzsorten. Euler lehrt die Berechnung der gegenseitigen Werte von Berliner und St. Petersburger Dukaten, Berliner Louisd'or, Rubel, Reichstaler, Speziestaler, Amsterdamer Dukaten. Wie viel Dukaten ergeben 1000 aus Petersburg mitgebrachte Rubel in Berlin? oder 1000 aus Hamburg mitgebrachte Dukaten in Polnischen Gulden von Königsberg? 3) Der praktische Nutzen der Logarithmen besteht in der Berechnung von Zinseszins. "Gemeiniglich wird das Geld zu 5 p. C. ausgelegt,"4) bemerkt Euler dazu. Interessant ist der Nutzen, den die Auflösung der diophantischen Gleichungen einem Münzmeister bringt. Soll derselbe aus 14-, 11- und 9-löthigem Silber 30 Mark 12löthiges Silber machen, 5) so sagt ihm die Lösung einer diophantischen Gleichung, wie viel er von jedem Silber zu nehmen hat.

In dem zweiten Punkt, der Kunst der Anpassung an die Vorstellungskraft und Begriffswelt des Zuhörers, scheint mir der Schwerpunkt von Eulers Methode zu liegen. Sie führt konsequent den Grundsatz durch, jeden neuen Gedanken oder Begriff zuerst an zahlreichen Beispielen durchzuführen. Hat der Lehrling sich an ihnen das Neue völlig zu eigen gemacht, den Schatz

seiner Erfahrungen bereichert, so folgt die Durchführung mit der allgemeinen Buchstabenrechnung fast selbstverständlich. Schon in den ersten Anfängen verfolgt Euler diese Methode. Die Definition von Dividend, Divisor, Quotient und Rest wird an 24 = 3.7 +3, die Addition ungleichnamiger Brüche an ½ +1/3 = 5/6 vorgenommen. 1) Die Binomialkoeffizienten werden zuerst bis zum Exponent 7 berechnet; 2) der grösste gemeinsame Teiler für 576 und 252 bestimmt. 3) Die Eigenschaften algebraischer Gleichungen entwickelt Euler aus x 2 - 12 x +354), die näherungsweise Berechnung der Quadratwurzeln an """