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Rektorats Reden © Prof. Schwinges

Über die Entwicklung und das Wesen der mathematischen Forschung Rektoratsrede

gehalten am 16. November 1940 in der
Eidgenössischen Technischen Hochschule von
Prof. Dr. Walter Saxer
Polygraphischer Verlag A.-G. Zürich 1941

Über die Entwicklung und das Wesen der mathematischen Forschung.*

Meine Damen und Herren!

Wenn Mathematiker vor Nichtmathematikern über die Fortschritte der mathematischen Forschung sprechen sollen, beginnen sie ihren Bericht gewöhnlich mit einer Entschuldigung. Denn wir erleben zwar das Wachstum unserer Wissenschaft, freuen uns täglich an ihren Schönheiten und sind doch nicht in der Lage, diese vor Nichtmathematikern auszubreiten. Diese Schwierigkeit haben wir z. B. ganz besonders deutlich empfunden, als es galt, an der schweizerischen Landesausstellung das Wesen der Mathematik Laien verständlich zu machen. Als damals die Frage aufgeworfen wurde, wie die mathematische Forschung demonstriert werden solle, schlug ein Eingeweihter vor: «Stellt einen Tisch und einen Stuhl hin, auf dem ein Mathematiker Platz nimmt, bewaffnet mit Papier und Bleistift. Er mache ein tiefsinniges Gesicht, um Konzentration zu demonstrieren und werde dafür nach zwei Stunden abgelöst.» Ja, das ist ungefähr alles, was sich von unserer Art, zu arbeiten, ausstellen läßt.

Wegen ihrer absoluten Unpopularität bestehen über das Wesen der Mathematik und ihre Entwicklung selbst bei Gebildeten ganz falsche Vorstellungen. Gewöhnlich beruhen diese lediglich auf der Schulmathematik, die man seinerzeit im Gymnasium und in der Regel ohne große Begeisterung eingenommen hatte. Die Wohlwollenden erinnern sich wohl auch noch daran, daß mathematische Kenntnisse für einen Naturwissenschafter oder für einen Ingenieur ganz nützlich sein können. Denn sobald quantitative

Fragen, funktionelle Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen, untersucht werden sollen, kommt offenbar die Anwendung mathematischer Methoden in Betracht. Im allgemeinen hat man auch von der Schule lier den Eindruck erhalten, daß die Resultate der Mathematik absolut starr seien, und daß an ihnen nicht gerüttelt werden könne. Man identifiziert ihren Inhalt mit einigen Formeln und Rechnungsmethoden, d. h. mit starren und Erstarrung bedingenden Schemata, und hat keine Ahnung davon, daß die Mathematik sogar höchste Freiheit in sich trägt.

Die Vorstellung, daß die Mathematik keine Entwicklungsmöglichkeit besitze, daß sie verknöchert oder tot sei, muß aber auch noch auf einen andern, beinahe trivialen Umstand zurückgeführt werden. Die Mathematiker befinden sich in der glücklichen Lage, daß die Fortschritte ihrer Wissenschaft nicht an die Existenz eines Institutes gebunden sind. Unser Betrieb ist, wie wir bereits gesehen haben, denkbar einfach, so einfach, daß die Mathematiker sozusagen ohne besondere Kredite und Subventionen auskommen. Von dieser Seite beleuchtet, sind wir eine Art Gläubiger unter den Wissenschaftern — und, meine Herren — Sie wissen ja alle, daß die Stellung der Schuldner heute eine viel stärkere ist als diejenige der Gläubiger.

Nach dieser kurzen Einleitung und Motivierung betrachten Sie es vielleicht mit mir als nützlich, einige Gedanken über die Entwicklung und die Ziele der mathematischen Forschung anzuhören. Allerdings mag vielleicht der eine oder andere finden, solche Vorträge könne man sich in normalen Zeiten gefallen lassen, heute aber möchte man sich lieber bei einem solchen gemeinsamen Anlaß mit aktuelleren, mit der Not der Zeit im Zusammenhang stehenden Fragen befassen. Selbstverständlich bin ich damit einverstanden. daß wir unsere Arbeit im Dienste der Hochschule und der Wissenschaft allgemeineren, nationalen und kulturellen Zielen einordnen müssen. Aber ich bin überzeugt, daß einige in den Wissenschaften allgemein anerkannte Richtlinien auf das gesamte Leben übertragen werden sollten. Ich kann mir keinen rechten Akademiker vorstellen, der im wissenschaftlichen Denken gewisse Konstanten anerkennt und z. B. in der Politik analoge Prinzipien ablehnt. In diesem

Zusammenhange kann ich nur mit Bedauern darauf hinweisen, daß in politisch bewegten Zeiten viele Akademiker in dieser Beziehung versagen und im Gegenteil politisch zu den labilsten Gruppen gehören. Deshalb, meine Damen und Herren, erachte ich es als überaus wertvoll, daß wir gerade heute den statischen Elementen des wissenschaftlichen Lebens nachspüren und versuchen, diese in das Gesamtleben unseres Volkes einzubauen.

Um diese Konstanten nachzuweisen, möchte ich Ihnen einige in der Entwicklung der Mathematik wichtige Momente vor Augen führen. Es sei betont, daß über die Geschichte der Mathematik eine umfangreiche Literatur existiert. Zur Schilderung der von mir auf Grund bestimmter Richtlinien herausgegriffenen Entwicklungsstufen hielt ich mich vor allem an die historischen Darstellungen der Mathematiker Cantor, Boutroux, Tannery und Neugebauer.

Ich möchte nunmehr im folgenden die Entwicklung der Mathematik in vier große Stufen einteilen:

1. Altorientalische oder vorgriechische Mathematik.

2. Griechische Mathematik.

3. Mittelalter und Renaissance.

4. Moderne Mathematik, beginnend mit der Entwicklung der Differential. und Integralrechnung im 17. Jahrhundert.

In der mir zur Verfügung stehenden Zeit ist es selbstverständlich nur möglich, die einzelnen Stufen in ihren allergröbsten Zügen zu skizzieren. Ich möchte vor allem auf den entscheidenden Einfluß der Mathematik auf die allgemeine Kultur und Geisteshaltung der einzelnen Epochen hinweisen, was Ihnen hoffentlich zeigen wird, daß die Mathematik wirklich nicht nur aus einigen Formeln besteht, sondern ein Geistespotential allererster Größe darstellt. Und ich hoffe, Sic werden nach meinen Ausführungen die Überzeugung gewonnen haben, daß auch in der Mathematik genau so viel Freiheit und Bindung besteht, wie in irgendeiner andern Wissenschaft; das Charakteristische an ihr aber liegt gerade darin, daß die Spannung zwischen diesen beiden Polen in ihr besonders deutlich zum Ausdruck kommt.

Das mathematische Denken hat sich aus seinen primitivsten Anfängen heraus stets um den Zahlbegriff der Arithmetik und Algebra einerseits und die wissenschaftliche Beherrschung des Raumes,

die Geometrie anderseits, kristallisiert. Ganz abgesehen vom allgemeinen Interesse, das man zu allen Zeiten den Begriffen Zahl und Raum entgegengebracht hat, sind es hauptsächlich drei außerhalb der Mathematik liegende Geistesrichtungen, die ihre Entwicklung in entscheidender Weise beeinflußt haben und mit denen unlösbare Verknüpfungen mannigfaltiger Art bestehen.

Die Astronomie konnte in früheren Jahrhunderten von der Mathematik kaum getrennt werden. Es gibt eine Reihe von Klassikern aus der babylonischen Zeit bis ins 19. Jahrhundert, die gleichzeitig die Mathematik und die Astronomie beträchtlich gefördert haben. Das Interesse an der Astronomie war in früheren Jahrhunderten auf die Astrologie und damit letzten Endes auf Strömungen theologischen Ursprunges zurückzuführen. Aus dieser ursprünglichen Verknüpfung zwischen weltanschaulichen Fragen und der Mathematik hat sich ein unlösbares Band zwischen der Philosophie und der Mathematik entwickelt, dem beide Wissenschaften Befruchtung und Fortschritt verdanken. Schließlich sind seit der Entdeckung der Infinitesimalrechnung die exakten Naturwissenschaften, Physik und Technik, gelegentlich auch die Chemie, zu nennen als Disziplinen, welche die mathematische Forschung zu wichtigen neuen Problemstellungen und Methoden angeregt haben.

Wenn man den Anfängen mathematischen Denkens nachgräbt, wird man bald gewahr, daß sie eng mit dem Vorhandensein einer Schrift zusammenhängen. Sprache und Schrift sind bedeutungsvolle Symbole, Manifestationen und Ausdrucksformen unserer Gedanken. Ihr Vorhandensein bedeutet bereits eine erhebliche Abstraktionsfähigkeit. Die Mathematik kann in gewissem Sinne als die Wissenschaft der Symbole bezeichnet werden — auf jeden Fall spielen geeignete Begriffe und ihre Darstellung durch zweckmäßige Symbole eine ganz entscheidende Rolle. Aus diesem Grunde ist denn auch die Entstehung und Entwicklung der Mathematik in engster Weise an das Aufkommen und Wachstum einer Schrift gebunden, wie die altorientalische Kulturepoche beweist. Diese umspannt ungefähr vier Jahrtausende vor Christi Geburt und hatte ihre Heimat im Stromgebiet des Euphrat und des Tigris und in Ägypten. Die Existenz mathematischer Kenntnisse im alten Babylonien wurde durch die Entzifferung von Tontafeln festgestellt,

die mit Keilschrift beschrieben sind und bis auf das Jahr 2000 vor Christus zurückgehen. Unsere Kenntnis der ägyptischen Mathematik beruht hauptsächlich auf zwei größeren Texten, die sich in Moskau und in London befinden.

Gemäß den Forschungen von Neugebauer* und andern enthalten alle diese Texte im wesentlichen nur zahlenmäßig vorgerechnete Einzelbeispiele, aber keine Beweise im Sinne z. B. Euklids. Man muß sich schon aus diesem Grunde mit ihrer Rechentechnik auseinandersetzen, wenn man den Stand der mathematischen Kenntnisse in dieser Zeit registrieren will. Nach Neugebauer bestehen tiefgehende Unterschiede zwischen der ägyptischen und der babylonischen Mathematik, — Differenzen, die nur herrühren vom verschiedenen Geschicklichkeitsgrad, mit dem man das Numerische beherrschte. Wenn man die Rechentechnik verstehen will, muß man an unser heutiges Zahlensystem denken.

Ein berühmter deutscher Mathematiker soli scherzweise gesagt haben: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, — alles andere ist Menschenwerk. Das Menschenwerk beruht darin, daß durch Rechnungsoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, um nur die einfachsten zu nennen, Zusammenhänge zwischen den Zahlen hergestellt werden und durch Anwendung dieser Operationen neue Zahlen, die keine ganzen Zahlen mehr sind, entstehen.

Schon in der Primarschule wird mit Brüchen gerechnet und daneben wird mit Dezimalbrüchen, die bekanntlich beliebig viele Stellen haben können, operiert. Gewöhnliche Brüche entstehen ja dadurch, daß man zwei ganze Zahlen durcheinander dividiert, ohne daß die Division aufgeht. Auch ein Nichtmathematiker kann sich die Frage vorlegen, ob irgendeine Zahl, z. B. auch ein nicht abbrechender Dezimalbruch, sich immer als Bruch darstellen lasse. Schon die Griechen haben festgestellt, daß dies keineswegs der Fall ist, — z. B. die Zahl ""