Über die Beziehungen der Mathematik zur Statistik

Rektoratsrede

Eidgenössischen Technischen Hochschule von

Polygraphischer Verlag A.-G. Zürich • 1942

Es bedeutet ein sehr gewagtes Unternehmen, über die Beziehungen der Mathematik zur Statistik zu sprechen. Die Mathematik steht bekanntlich im Rufe, nicht leicht verständlich zu sein, und die Statistik wird häufig als kalt, als langweilig, als übertreibend, unwahr, als Wissenschaft ohne Seele bezeichnet. Will man nun trotz dieser für den Redner ganz und gar nicht günstigen Situation über diese Beziehungen sprechen, müssen schon besondere Gründe dafür vorliegen. Ich möchte zuerst den äußern und damit weniger wichtigen Grund nennen. Am 1. Dezember dieses Jahres findet eine eidgenössische Volkszählung statt. Auch Sie werden das Vergnügen haben, einen Fragebogen mit zahlreichen Fragen zu beantworten. Erfahrungsgemäß werden Zirkulare, besonders dann, wenn sie vom Staate stammen und sich an demokratisch erzogene Bürger wenden, leider in der Regel mit recht wenig Liebe und Sorgfalt beantwortet. Ich hoffe, daß mein Vortrag immerhin den Erfolg zeitige, daß Sie diese Unlustgefühle beim Ausfüllen dieser Bogen etwas verlieren.

Der innere Grund hängt mit der Stellung der Mathematik im großen Gebäude menschlicher Erkenntnis zusammen. Durch Schilderung verschiedener — wie ich hoffe —allgemeinverständlicher Beziehungen zwischen der Mathematik und der Statistik möchte ich auf einige moderne und für viele überraschende Aspekte dieser Relation hinweisen. Ich möchte zeigen, wie scheinbar ganz unmathematische Formen quantitativen Analysen zugänglich gemacht werden können, allerdings nur, wenn man dazu sehr scharf gewetzte Messer benutzt.

Wir wollen durch das Herausgreifen des Beispiels der Statistik eine Ahnung geben von dem großen Problemkreis der Anwendungen der Mathematik. Es ist ja wohl bekannt, daß die Bedeutung der Mathematik aus zwei Komponenten besteht: die reine Mathematik dient sich selbst, und die angewandte Mathematik will andern Wissenschaften quantitative Kriterien liefern. Infolge dieser verschiedenen Zweckbestimmung sind die reine und die angewandte Mathematik in ihrer gedanklichen Struktur, in ihrem Aufbau sehr verschieden.

Beide Gebiete sind grundsätzlich unbegrenzt, beide Komponenten sind in steter Entwicklung begriffen und bilden nicht etwa wohlabgeschlossene und damit eigentlich gestorbene Wissenschaften. In der reinen Mathematik werden fortlaufend neue Begriffe und durch Erforschung der Zusammenhänge zwischen ihnen und bereits bestehenden Begriffen neue Theorien geschaffen. Diese Theorien brauchen aber gar nicht immer mit praktischen Problem. Stellungen in Zusammenhang zu stehen. Die reine Mathematik begnügt sich auch öfter damit, Sätze, Theoreme ganz exakt durch Beweise zu erhärten, die man praktisch gar nicht verwirklichen könnte. Beispielsweise können wir uns ja sehr wohl die Menge aller ganzen Zahlen vorstellen, ohne daß sie durch Zählen oder Numerieren jemals reproduzierbar wären.

Die angewandte Mathematik bezieht ihre Probleme aus andern Wissensgebieten, z. B. aus der Technik, der Biologie, der Physik usw. Infolge dieser Sachlage müssen ihre Lösungen von solcher Beschaffenheit sein, daß sie numerisch oder zeichnerisch in allen Einzelheiten durchgeführt werden können. Die Probleme der angewandten Mathematik stellen deshalb in gewissem Sinne noch höhere Anforderungen für ihre Lösung als diejenigen der reinen Mathematik. Sie wollen im Sinne der letzteren ganz exakt gelöst sein; die Lösung soll jedoch wirklich realisiert werden können Beispiels. weise genügt es nicht, wie dies häufig in der reinen Mathematik gemacht wird, daß man einfach die Existenz einer Lösung z. B. einer Gleichung feststellt. Nein, man will wirklich ihre Größe kennen. Vielleicht sind auch die Methoden der reinen Mathematik rechnerisch viel zu umständlich und zu kompliziert und müssen deshalb in geeignete Calculs oder Näherungsverfahren umgeformt werden. Aus diesen knappen Schilderungen wollen Sie ersehen, daß der Unterschied zwischen reiner und angewandter Mathematik in der Zielsetzung, in ihrem Zweck und nicht etwa in ihrer Exaktheit beruht.

Die größte Schwierigkeit für die Anwendungsmöglichkeit der Mathematik auf andere Wissenschaften liegt jedoch darin, daß die Fragestellungen in der Regel zuerst von Vertretern der andern Wissenschaften so weit präpariert werden sollten, daß sie nachher

mathematisch behandelt werden können. Dem Mathematiker muß die Gleichung, die gelöst werden soll, vom andern Lager fertig vorgelegt werden. Leider bestehen nun bei (1er Abstraktheit der Mathematik und der Komplexität und Kompliziertheit praktischer Probleme häufig große Schwierigkeiten, ein solches ohne große Vergewaltigung und Verstümmelung so weit umzuformen, daß es mathematischer Behandlung zugänglich wird. Von den Mathematikern sind immerhin gewisse Wege zu bestimmten Problemkreisen anderer Wissenschaften erschlossen worden. Die angewandte Mathematik hat sich heute so weit spezialisiert, daß für verschiedene mathematische Fragestellungen, die in der Praxis immer wieder auftauchen, weitausgebaute und in alle numerischen und technischen Einzelheiten gehende Methoden für die Herbeiführung einer Lösung bestehen.

Im Lichte dieser allgemeinen Überlegungen betrachtet, ist es absolut kein Zufall, daß die mathematische Behandlung statistischer Fragen heute sehr weit gediehen ist und von Biologen, Betriebsingenieuren bei der Behandlung industrieller Fragen betreffend Rationalisierung, von Elektroingenieuren bei der Konstruktion von Telephonanlagen usw. zum Teil auch wirklich benutzt wird. Denn gerade hier muß vom andern Lager eigentlich nur das statistische Material bereitgestellt werden. Die eigentliche mathematische Analyse kann dann dem Mathematiker überlassen werden. Immerhin ist es natürlich von ganz fundamentaler Bedeutung, wie die Statistik aufgemacht und angelegt wird. Es sollte von Anfang an klare Übersicht bestehen, welche Fragen von der Statistik beantwortet werden sollen. Der bedeutende schwedische Mathematiker und Statistiker Charlier schrieb schon im Jahre 1920 in dieser Beziehung mit Recht: 1 «Die mathematische Statistik ist das Werkzeug, mit dessen Hilfe der Statistiker in den Stand gesetzt wird, aus seinem Material Schlüsse zu ziehen. Wie bei jedem andern Werkzeug hängt das Resultat und der Wert seiner Wirksamkeit in erster Linie davon ab. wie der Leiter der Arbeit die Ausführung seines Auftrages versteht.

Das Werkzeug kann ebenso leicht mißbraucht oder verkehrt angewendet werden, vielleicht sogar leichter als in der richtigen Weise. Dies um so mehr, als der mathematische Apparat in der letzten Zeit eine Schärfe erhalten hat, wie sie früher nicht annähernd erreicht worden war. Die mathematische Statistik ist kein Automat, in den man nur das statistische Material hineinzustecken hat, um nach einigen mechanischen Manipulationen das Resultat wie an einer Rechenmaschine abzulesen. Es ist nicht immer sicher, daß man in dieser Weise die richtige Antwort auf die gestellte Frage erhält.

Mit dieser im voraus abgegebenen Einschränkung muß andererseits betont werden, daß die mathematische Statistik für den Statistiker ebenso notwendig ist, wie das Messer für den Chirurgen. Die Fassung der Frage selbst, die Formulierung des zu lösenden Problems, wie auch die Sammlung des zur Beleuchtung der Frage gehörenden statistischen Materials sind zwei Aufgaben, die spezielle Fachkenntnisse in demjenigen Wissenschaftszweig erfordern, welchem das behandelte Problem letzten Endes angehört. Wenn aber das Material einmal gesammelt und die Frage gehörig formuliert worden ist, so ist ihre Beantwortung eine Aufgabe, die ganz und gar im Gebiete der mathematischen Statistik liegt.»

Wir unterscheiden zwischen der beschreibenden und der mathematischen Statistik. Die erstere Art interessiert uns hier nicht, obwohl sie selbstverständlich in vielen Fällen sehr nützliche Dienste zu leisten vermag. Übrigens fließen natürlich beide Gebiete ineinander über; eine klare Trennung wäre nur auf Grund einer ganz scharfen Definition von mathematischen Kriterien möglich. Wie schwierig ein solches Unternehmen wäre, mögen Sie aus dem folgenden Beispiel ersehen: Schon im Anfang des 19. Jahrhunderts hat der geniale französische Mathematiker Laplace festgestellt, daß durchschnittlich pro Jahr in Frankreich etwas mehr Knaben als Mädchen getauft wurden, daß aber dieser Quotient in der Stadt Paris nicht unbedeutend niedriger war gegenüber dem übrigen Frankreich. Laplace wollte den Grund dieser Anomalie kennen und stellte fest, daß vom Lande bedeutend mehr Mädchen als Knaben als Findelkinder in die Stadt gebracht wurden. Es gelang ihm sogar,

ganz genau den Einfluß dieser Findelkinder auf die Statistik der getauften Kinder festzustellen, und nach der Ausschaltung der Findelkinder war die Anomalie behoben.

Dieses Beispiel, das wohl mit gutem Recht in die beschreibende und in die mathematische Statistik eingereiht werden kann, weist bereits auf eine Aufgabe der mathematischen Statistik hin. Das statistische Material muß vorerst auf alle störenden Einflüsse hin untersucht werden. Diese Störungen können zufällig bedingt sein, z.B. durch fehlerhafte Messungen oder Aufzeichnungen. Es können sich aber auch die Grundlagen der in der Statistik zu registrierenden Erscheinung von Versuch zu Versuch ändern, und solche Veränderungen grundsätzlicher Natur sollen vor allem bestimmt werden. Man unterscheidet säkulare und periodische Veränderungen, wobei die letzteren bei unbekannter Periode besonders schwer zu bestimmen sind.

Wie bei allen naturwissenschaftlichen Problemstellungen isi auch hier natürlich die Hauptsache, Gesetze aus dem scheinbar ungeordneten Zahlenhaufen einer Statistik herauszufinden. Ein wesentliches Hilfsmittel bietet dabei die Untersuchung der sogenannten Streuung der registrierten, respektive gemessenen Werte. Beispielsweise werden die Rekruten jedes Jahrganges auf ihre Größe hin geniessen. Durch Einführung eines Koordinatensystems kann jedes Wertepaar —Länge und die dazu gehörige Anzahl Rekruten — durch einen Punkt dargestellt werden. Damit erhalten wir einen ganzen Haufen Punkte, und es besteht nun die Aufgabe, eine Kurve zu finden, die sogenannte Frequenzkurve, die sich diesen Punkten möglichst nahe befindet.

Eine weitere fundamentale Aufgabe besteht darin, zwischen zwei statistischen Reihen Beziehungen aufzustellen. Beispielsweise dürfte zwischen der Größe und dem Brustumfang von Rekruten sicher eine solche Beziehung bestehen. Das Problem ist im allgemeinen recht schwierig angesichts der Zufälligkeiten, die in statistischen Zahlfolgen stecken. Einen Zusammenhang, eine Korrelation zu sehen, dürfte allerdings für gewöhnlich keine großen Schwierigkeiten bereiten und kann vielleicht schon durch Zeichnung der Frequenzkurven festgestellt werden. Sobald man aber über den Grad der

Korrelation Aussagen machen will, muß man in der Analyse der Vergleichung der beiden statistischen Folgen wesentlich tiefer gehen. Die Korrelationstheorie beschäftigt sich bekanntlich mit diesem Problemkreis, und gerade sie hat in mathematischer Hinsicht in den letzten Jahrzehnten bedeutende Fortschritte zu verzeichnen.

Wenn wir uns diesen Problemkreis vor Augen führen, sind wir gar nicht überrascht, daß seine Behandlung erst eigentlich im 17. Jahrhundert einsetzte und schon die Problemstellung den früheren Kulturvölkern, insbesondere den Griechen, völlig fern lag. Ein Laie muß ja überrascht sein, daß man in einer scheinbar gänzlich willkürlichen Folge von Zahlen, wie sie uns die Statistik liefert, Gesetze entdecken kann. Andererseits sind z. B. der Kreis oder ein Würfel Objekte, die dank ihrer Symmetrien mathematische Eigenschaften ahnen lassen, die denn auch schon von viel ältern Generationen bestimmt wurden. Es sind hauptsächlich zwei große mathematische Gebiete, die in der mathematischen Statistik zur Anwendung gelangen: die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Infinitesimalrechnung, die Analysis in ihrem ganzen großen Umfange der modernen Mathematik. Hier liegt ein weiterer Beweis dafür vor, von welch gewaltiger Tragweite die Entdeckung der Differential- und Integralrechnung für alle Naturwissenschaften war. Erst die Kombination der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Analysis, die um 1800 herum in wahrhaft genialer Weise mit Laplace einsetzte, gab der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Gebäude der Mathematik ihre bedeutende und selbständige Stellung.

Wohl über kein mathematisches Gebiet sind auch von Vertretern anderer Wissenschaften, und insbesondere der Geisteswissenschaften, so viele Abhandlungen geschrieben worden wie über die Wahrscheinlichkeitsrechnung, wobei diese Abhandlungen zum Teil weit über deren Tragweite hinausgingen. Die Schuld dafür fällt zum Teil auf die Mathematiker selbst, speziell auf Laplace, die in ihrer ersten hellen Begeisterung wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden auf Fragestellungen anwenden wollten, bei denen die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit nicht erfüllt waren. Im Rahmen dieser Ausführungen möchte ich Sie vor allem orientieren über den

Sinn wahrscheinlichkeitstheoretischer Aussagen. Daraus erhellt dann auch, warum solche eine ausschlaggebende Rolle in der mathematischen Statistik spielen müssen.

Im 17. Jahrhundert hatte ein Chevalier de Meré festgestellt, daß man eine Wette eher gewinne als verliere, die behaupte, mit einem homogenen Würfel unter vier Würfen mindestens einmal eine Sechs zu werfen. Andererseits hatte er experimentell herausgefunden, daß man sie eher verliere, wenn man wette, unter 24 Würfen mit zwei Würfeln zusammen mindestens einmal eine Doppelsechs zu werfen. Deshalb warf er der Arithmetik Widersprüche vor, da im ersten Fall vier Würfe auf sechs Möglichkeiten und im zweiten Fall 24 Würfe auf 36 Möglichkeiten kämen, nämlich sämtliche Zahlpaarungen der beiden Würfel, womit in beiden Fällen das Verhältnis 4/6 bestehe. Schon zwei berühmte Zeitgenossen dieses Chevalier, Pascal und Fermat, stellten einmütig fest, daß in der Tat im ersten Fall die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des Ereignisses 0,516 und im zweiten Falle 0,491 betrage, und waren sich auch durchaus klar über den Überlegungsfehler, den der ehrenwerte Chevalier de Meré begangen hatte. Pascal schrieb sogar sehr boshaft über ihn an Fermat: «De Meré hat sehr viel Verstand, aber er ist kein Geometer; das ist, wie Sie wissen, ein großer Mangel», — eine Auffassung, die noch bei den heutigen Mathematikern Wohlgefallen erregt.

Diese kleine Fehde ist deshalb interessant, weil sie zeigt, wie die Wahrscheinlichkeitsrechnung entstanden ist und gleichzeitig demonstriert, daß falsche Überlegungen in diesem Gebiet besonders häufig vorkamen. Tatsächlich waren es vor allem Fragen der Glücksspiele, Lotterien usw., die zur Entstehung der Wahrscheinlichkeitsrechnung Anlaß gaben. Dies beweist, daß es sich um zufallartige und voneinander unabhängige Ereignisse, wie Würfelwerfen hintereinander, um gewisse Massenerscheinungen handelt. Auch für das Verständnis der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es gut, wenn man sich an bestimmte Vorstellungen und Schemen hält.

Indem wir auf die schwierige Aufgabe verzichten, eine allgemeine Definition zufälliger Ereignisse zu geben, betrachten wir lieber eine ganz bestimmte Klasse. Beliebt ist in dieser Hinsicht das Bild einer Urne, wobei die zufallsartigen Ereignisse mit Urnenziehungen

identifiziert werden. Wenn sich z. B. in einer Urne 100 Kugeln, davon 51 weiße und 49 schwarze, befinden, sagt man, die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, betrage 51/100, und eine schwarze zu ziehen 49/100. Man bildet sich demnach den Quotienten aus der Anzahl der günstigen Ereignisse zur Anzahl der möglichen Ereignisse. Wenn nun erfahrungsgemäß das Verhältnis der Knabengeburten zu den Mädchengeburten 51 : 49 beträgt, so sagt man analog, die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt betrage 51/100.

Was ist nun der genaue Sinn einer solchen Aussage? Ihre Interpretation hat sich im Laufe der Jahrhunderte bedeutend geändert. Es besteht auch heute noch keine einmütige Stellungnahme der Mathematiker in dieser Hinsicht. Persönlich möchte ich mich der naturwissenschaftlichen Anschauung anschließen, die eigentlich schon von Poisson skizziert wurde. Gemäß dieser Auffassung nähert sich die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis eintritt, bei gewissen, genauer zu charakterisierenden Massenerscheinungen mit wachsender Anzahl von Versuchen einem Grenzwert, und dieser Grenzwert wird dann als Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses definiert. Das Bestehen eines solchen Grenzwertes wurde von Poisson als das Gesetz der großen Zahlen bezeichnet; auf ihm beruht der Sinn jeder statistischen Aussage, — auf ihm beruht z. B. das Prinzip jeglicher Versicherung.

Im Jahre 1713, acht Jahre nach dem Tode von Jakob Bernoulli, wurde seine berühmte Ars conjectandi publiziert. Dieses Werk gipfelt in einem Satz, an dem der Entdecker und Verfasser Bernoulli 20 Jahre gearbeitet hatte und den er mit Recht als ein Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtete. Darin bewies er, daß in einer Serie von je einer großen Anzahl Urnenziehungen aus Urnen mit 51 weißen und 49 schwarzen Kugeln ganz wenige Serien entstehen, in denen sich das Verhältnis der Anzahl gezogener weißer Kugeln zur Anzahl der schwarzen wesentlich von 51/49 unterscheidet. Dieser Satz sagt demnach aus, daß in Massenerscheinungen vom Typus der Urnenziehungen der statistische Ausgleich schon in den einzelnen Serien erfolgt.

Warum kann nun die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die

mathematische Statistik angewendet werden? Der Grund liegt darin, daß sie uns die Möglichkeit liefert, Modelle statistischer Folgen herzustellen, die wir mathematisch vollkommen beherrschen. Sämtliche empirisch gegebenen Folgen werden dann mit solchen mathematisch gegebenen Folgen verglichen. Selbstverständlich haben solche Vergleichungen nur dann einen Sinn, wenn eine in der Statistik gegebene Folge unter gleichen oder zum mindesten ähnlichen Voraussetzungen entstanden ist wie die mit den mathematischen Methoden konstruierte. Sonst entstehen unerlaubte Extrapolationen und Fehlschlüsse, welche eine der Ursachen des Vorwurfes über Willkür in der Statistik bilden. Es ist interessant, daß im eigentlichen Gebiete der angewandten Mathematik sehr viele Forscher lediglich eine schon von Bernoulli und dann von Laplace und Gauß untersuchte statistische Zahlenfolge kennen, deren Konsequenzen allerdings sehr wichtig sind. Dagegen ignorieren sie die ganze seitherige bedeutende Entwicklung auf diesem Gebiete. Zum Teil sind an dieser bedauerlichen Erscheinung die Mathematiker schuld. Mehrere Jahrzehnte haben sie sich recht wenig um die Anwendungen gekümmert, und erst als namhafte Biologen dazu übergingen, die Wahrscheinlichkeitsrechnung für ihre Zwecke zurecht zu schneidern, versuchten auch die Mathematiker, die Einheit zwischen Theorie und Praxis wenigstens in diesem Sektor wiederherzustellen. Damit habe ich einen weitern Punkt berührt, der mich veranlaßte, dieses Thema zu behandeln. Ich möchte bei den Technikern und Biologen das Interesse wecken, auch die neuem und neuesten Erkenntnisse auf dem Gebiete der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenzulernen und nicht die, wenn auch bedeutenden, Ergebnisse der Klassiker als Abschluß zu betrachten.

Um den Sinn und das Ziel der neuem Untersuchungen zu erfassen, ist es unerläßlich, daß wir uns die von Bernoulli, Laplace und Gauß diskutierte fundamentale statistische Zahlenfolge vorstellen. Denken Sie sich wieder eine Urne mit einer gewissen Anzahl schwarzer und weißer Kugeln. Aus dieser Urne werde eine sehr große Anzahl Serien von je einer konstanten Anzahl Ziehungen gebildet —wobei nach jeder Ziehung die gezogenen Kugeln in die Urne zurückgelegt werden. Nach jeder Serie von Ziehungen werde die

Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln notiert. Damit erhält man die fundamentale Bernoullische Zahlenfolge. Wenn man sich ihre Frequenzkurve ansieht, hat sie die Form einer schönen symmetrischen Glocke, die sich links und rechts asymptotisch der Axe anschmiegt. Schon Bernoulli hat ausgerechnet, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Zahlen in dieser Folge vorkommen werden. Dieses Beispiel war deshalb von grundlegender Bedeutung, weil man hier tatsächlich eine Kette gleichartiger unabhängiger Ereignisse hatte. Die eigentlich revolutionäre Tat Bernoullis lag aber — ganz abgesehen vom mathematischen Können — darin, einzusehen und zu glauben, daß mit diesem Beispiel überhaupt alle andern unabhängigen, zufallsartigen Massenerscheinungen erfaßt werden könnten. Hier haben Sie ein besonders schönes Beispiel dafür, wie ein Wissenschafter in wirklich genialer Weise das Wesentliche einer sehr komplexen Situation intuitiv erfaßte und alles Unwesentliche radikal abstreifte.

Diese revolutionäre Haltung bat vor allem Laplace imponiert, wie aus der «Introduction» seines unvergänglichen Werkes «Théorie analytique des probabilités» hervorgeht. Die geniale Leistung dieses Mathematikers besteht darin, in glänzender Weise die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Analysis — die Wissenschaft des unendlich kleinen und unendlich Großen — zusammenzuspannen. Er hat sich die Frage überlegt, gegen welche Werte nun die von Bernoulli errechneten Wahrscheinlichkeiten konvergieren werden, wenn die Zahl der Versuche größer und größer und schließlich unendlich wird. Es ist dies ein typischer mathematischer Grenzübergang. Solche Grenzoperationen sind in der Regel äußerst heikel, was auch dem Nichtmathematiker einleuchten dürfte, wenn er daran denkt, mit welchen Schwierigkeiten heute leider gewöhnliche Grenzübergänge verbunden sind. Erst durch die Leistung von Laplace wurde die Wahrscheinlichkeitsrechnung aus der elementaren Algebra und Kombinatorik emporgehoben zu einem vollwertigen Teil der gesamten Mathematik.

Sowohl Laplace wie vor alleIn auch Gauß haben die volle Bedeutung der Untersuchungen Bernoullis klar überblickt und auch souverän ausgenützt. Wohl ihre bedeutendste Anwendung gelang

diesen beiden Klassikern in bezug auf die Fehlerrechnung. Bei empirisch aufgenommenen Daten, z. B. bei astronomischen, geodätischen oder physikalischen Messungen, sind häufig die Resultate infolge der Meßfehler nicht ganz exakt. Welcher Wert soll dann als der richtige angenommen werden? Durch Anwendung des Schemas von Bernoulli ergab sich das klassische und sehr bekannte Prinzip der minimalen Summe der Fehlerquadrate. Bereits Laplace gelangen, dank dieser Erkenntnisse, weitgehende Fortschritte in der Astronomie, und Gauß benutzte sie hauptsächlich in der Geodäsie.

Diesen sehr erfreulichen Fortschritten gegenüber steht die Tatsache, daß die überragende Autorität von Gauß den Glauben aufkommen ließ, die Wahrscheinlichkeitsrechnung, ja noch mehr — die gesamte angewandte Mathematik bestehe eigentlich nur aus seinem Fehlergesetz. Er glaubte auch wirklich, daß alle statistischen Reihen im wesentlichen mit der Bernoullischen Folge zusammenfallen müßten. Wenn sich zu starke Abweichungen ergaben, glaubte er, diese auf eine zu geringe Zahl von Beobachtungen zurückführen zu müssen. Deshalb ist dieser Satz von Gauß, wie sich Charlier ausdrückt, direkt zu einem Glaubensartikel in der mathematischen Statistik geworden und hat neben vielen erfreulichen Konsequenzen zu einer längern Periode von Stagnation geführt.

Heute ist glücklicherweise diese Periode überwunden. Man hat inzwischen erkannt, daß in vielen Fällen Erscheinungen, die gemessen werden, entweder in ihren Voraussetzungen sich ändern oder überhaupt nicht unabhängig voneinander sind. Damit sind aber die Bernoullischen Hypothesen nicht erfüllt. Betrachte man z. B. als Beobachtungsmaterial die Bevölkerung eines Schweizerkantons, als Ereignis das Eintreffen eines Unfalls, der bei einem Individuum mindestens einen Tag Arbeitsunfähigkeit hervorruft. Dieses Ereignis werde 40 Jahre registriert. Es ist klar, daß infolge der Entwicklung der Industrie diese Unfallswahrscheinlichkeit sich ändert und deshalb die entsprechenden Serien nicht mit einem Urnenschema mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit verglichen werden können. Zur Erfassung solcher Erscheinungen hat der deutsche Nationalökonom Lexis bei Beginn dieses Jahrhunderts Folgen betrachtet,

bei denen die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des Ereignisses von Experiment zu Experiment wechselt. Das von ihm eingeführte Dispersionsmaß gibt eben an, wie stark sich eine statistische Reihe von einer Bernoullischen Folge unterscheidet.

Denken wir uns etwa die Wahrscheinlichkeit, durch eine ansteckende Krankheit sterben zu müssen. Wegen der Ansteckung ist die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Person, diesen Tod erleiden zu müssen, bestimmt nicht unabhängig von der Wahrscheinlichkeit für eine andere Person. Gerade für solche Fälle wurde vor zirka 20 Jahren an unserer Hochschule in einer Promotionsarbeit 2 ein Schema ausgeprobt, das sich sehr bewährt und das in Fachkreisen bedeutende Anwendungen gewonnen hat. Beispielsweise konnte der betreffende Autor die Anzahl der Todesfälle an Scharlach in der Schweiz in den Jahren 1877-1900 oder diejenige durch Dampfkesselexplosinen in Preußen in den Jahren 1890-1909 sehr gut beschreiben und analysieren. Sie haben damit, dank einem solchen Schema, die Möglichkeit, eine verborgene und vielleicht unbekannte Ansteckungsgefahr eines gewissen Ereignisses statistisch nachzuweisen.

Schließlich ist die große englische Schule von Pearson und Fisher zu nennen, die speziell die Beziehungen zwischen der Biologie und der Mathematik und der letztere auch die industrielle Statistik gefördert haben. Von Pearson stammt eine ganze Reihe von Frequenzkurven, deren zugehörige Streuung analysiert wurde.

Fisher gibt in seinen Büchern verschiedene Tests, die zur Erforschung statistischen Materials dienen können. Er benützt z. B. Resultate von Euler über magische Quadrate zum Planen, Einrichten und Auswerten von Düngungsversuchen. Dabei hatte Euler ausdrücklich bemerkt, die von ihm behandelte Aufgabe stehe mit keiner praktischen Aufgabe im Zusammenhang. Es liegt hier ein besonders instruktives Beispiel dafür vor, wie scheinbar ganz abstrakte Fragestellungen zu praktischen Konsequenzen führen können.

Über die Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung habe ich bereits einige Bemerkungen gemacht. Laplace ging sehr weit und glaubte, neben der Bevölkerungsstatistik und der Theorie der Beobachtungsfehler auch noch die sogenannten «moralischen Wissenschaften» ihren Prinzipien unterstellen zu können. Er analysierte die Wahrscheinlichkeit von Zeugenaussagen und gab auch genaue Regeln, wie man möglichst glückliche Wahlen treffen könne. Ferner glaubte er, in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein Mittel gefunden zu haben, hei Versammlungen und Abstimmungen möglichst vernünftige Beschlüsse erreichen zu können, eine Kunst, die selbst in einer 650 Jahre alten Demokratie noch immer nicht zu ihrer Vollendung gelangt ist. Hingegen bat Laplace geahnt, daß die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung von großem Einfluß auf die gesamte erkenntnistheoretische Auffassung der Naturgesetze überhaupt sein werde. Bevor ich einige wenige Bemerkungen zu diesem schwierigen Thema mache, sei Ihnen doch noch das Schlußwort von Laplace in seinem philosophischen Versuch über die Wahrscheinlichkeit nicht vorenthalten. Er schreibt wörtlich:

«On voit par cet Essai, que la théorie des probabilités n'est au fond, que le bon sens réduit au calcul: elle fait apprécier avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre, toutes les fois que l'on peut, à son moyen, déterminer le choix le pIus avantageux. Par là, elle devient le supplément le plus heureux, à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain. Si l'on considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a donné naissance, la vérité des principes qui lui servent de hase, la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes, les établissements d'utilité publique qui s'appuient sur elle, et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore, par son application aux questions les plus importantes de la Philosophie naturelle et des sciences morales; si l'on observe ensuite, que dans les choses mêmes qui ne peuvent être soumises au calcul, elle donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugements, et qu'elle apprenti à se garantir des illusions qui souvent nous

égarent; on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos méditations, et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.»

Der Einfluß der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die erkenntnistheoretische Würdigung naturwissenschaftlicher Gesetze wird erst dann verständlich, wenn wir noch ein weiteres ihrer Anwendungsgebiete prüfen: Es betrifft dies die Physik. 3 Bekanntlich spielen in der klassischen Thermodynamik zwei Zustandsgrößen, die Energie und die Entropie, eine wesentliche Rolle. Neben dem Prinzip der Konstanz der Energie gilt der zweite Hauptsatz, der aussagt, daß bei jedem Vorgang im abgeschlossenen System die Entropie nur zunehmen könne. Es war der österreichische Physiker Boltzmann, der im Jahre 1866 dieser Aussage zum erstenmal einen statistischen Charakter verlieh, indem er sagte: «Es ist mit außerordentlicher Wahrscheinlichkeit zu erwarten, daß der Entropiewert zunimmt; eine auch nur geringfügige Abnahme der Entropie besitzt ganz geringe Wahrscheinlichkeit.» Diese Anwendung wahrscheinlichkeitstheoretischer Auffassungen in der Physik zeigte sich als außerordentlich fruchtbar in gewissen Gebieten. Ich nenne die kinetische Gastheorie, die Brown'sche Bewegung, gewisse Erscheinungen der Kolloidchemie, die radioaktive Strahlung und die neuere Entwicklung der Atomphysik (Wellenmechanik). Stets handelt es sich um zufallsartige Massenerscheinungen, z. B. in der Gastheorie um die Bewegung sehr vieler Gasmoleküle. Die Physik kann heute in einwandfreier Weise, durch direkte Zählung, zeigen, daß sich bei durchschnittlichen Verhältnissen in einem Kubikmillimeter Gas zirka 30000 Billionen Gasmoleküle befinden. Diese Moleküle sind in Bewegung, stoßen auf einander. Auf diesen Komplex von Molekülen werden nun für die Beschreibung ihrer Bewegungen die Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung angewendet, und die so aufgebaute kinetische Gastheorie liefert mit der Erfahrung gut übereinstimmende Resultate.

In der sog. Wellenmechanik, die eine Verfeinerung der gewöhnlichen Newton'schen Mechanik darstellt, und welche bei der Beschreibung der Vorgänge im Einzelatom und hei Kernprozessen ungeheure Erfolge aufzuweisen hat, hat sich ebenfalls eine ganz neue Auffassung durchgesetzt, physikalische Vorgänge wahrscheinlichkeitsmäßig zu interpretieren.

Ganz abgesehen davon, daß durch diese Auffassung eine neue große Möglichkeit gewonnen wurde, Theorien zur Beschreibung von physikalischen Vorgängen zu schaffen, handelt es sich bei der statistischen Interpretation von Naturgesetzen um einen prinzipiell andern Standpunkt, als er von den Klassikern der Mechanik bei ihrer deterministischen Definition der Gesetze vertreten wurde. Im Sinne einer statistischen Aussage sind alle unsere wissenschaftlichen Prognosen (und Naturgesetze bedeuten nichts anderes) mit einer Wahrscheinlichkeit behaftet, die allerdings in gewissen Fällen praktisch 1 betragen kann, was dann einem Gesetze in seinem guten, klassischen Sinn entspricht. Solche statistische Gesetze scheinen deshalb für eine Erklärung der Naturvorgänge im Sinne des Kausalitätsprinzipes viel weniger geeignet zu sein als die früheren Aussagen der Klassiker. Es ist somit gewiß nicht erstaunlich, daß durch diesen Einfluß der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Physik und ihre Entwicklung in den letzten Jahren die schwierige Frage des Kausalitätsprinzips in seinem ganzen Umfange aufgerollt wurde. In der Tat ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung wohl diejenige Wissenschaft, in welcher die feinsten Aussagen über Freiheit und Gebundenheit bei «Erscheinungen» gemacht werden. Der Klassiker suchte nur die Gebundenheit — die Kausalitätskette — festzustellen, im Unterschied zu der heutigen Generation, die dafür hält, daß zur Beschreibung und Erklärung von Vorgängen auch die sie begleitenden Freiheiten bekannt sein müssen. Vielleicht ist es gar nicht möglich oder zum mindesten nicht zweckmäßig, Vorgänge mittelst Kausalitätsketten zu beschreiben, und trotzdem kann man für sie im Sinne statistischer Aussagen vernünftige Theorien geben.

Schließlich möchte ich noch einige Bemerkungen zur Bevölkerungsstatistik machen, die ja in engem Zusammenhange steht mit den Volkszählungen. Ganz abgesehen von der großen Reihe wissenschaftlicher

Fragen, die durch solche Volkszählungen beantwortet werden, ermöglichen sie in Verbindung mit den fortlaufenden Registrierungen der Zivilstandsämter, das Wachstum einer Bevölkerung zu messen und daraus mit Hilfe mathematischer Methoden und gewisser Hypothesen die voraussichtliche Entwicklung der Bevölkerung nach Zahl und Altersstruktur zu bestimmen. Ungefähr seit 1700 weiß man, daß das Absterben einer Bevölkerung auf Grund gewisser Gesetze erfolgt; jedes Alter einer bestimmten Bevölkerungsgruppe, z. B. eines Volkes, hat eine bestimmte Todeswahrscheinlichkeit. Alle Todeswahrscheinlichkeiten zusammen bilden eine sogenannte Absterbeordnung. Es scheint mir sehr bemerkenswert, daß die erste solche Absterbeordnung von dem bedeutenden Astronomen Halley im Jahre 1693 publiziert wurde. Er glaubte, daß in dieser Beziehung ebenso starre Gesetze gültig seien wie in der Astronomie. Derselbe Glaube kommt auch in dem aus dem Jahre 1787 stammenden, heute besonders aktuellen dreibändigen Werke des preußischen Oberkonsistorialrates Süßmilch zum Ausdruck, betitelt «Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechtes, aus der Geburt, dem Tode und der Fortpflanzung desselben». Wie es sich für einen Theologen geziemt, hat er das Bestehen von Gesetzen in der statistischen Entwicklung eines Volkes theologisch gehörig untermauert. Daneben stellte er aber fest, daß die Gesetze nur deshalb nicht früher entdeckt worden seien, weil man zu kleine Bevölkerungsgruppen beobachtete. Ebenso kannte er den Sinn des Gesetzes der großen Zahlen sehr wohl, indem er schreibt: «Je größer die Summen werden, die man vergleicht, je mehr verschwinden die Unrichtigkeiten der kleinen Zahlen.» Im übrigen bezieht er sich mehrmals auf den Mathematiker Euler. Denn Euler hat auch in dieser Frage fundamentale Beiträge geleistet. Auch er wollte analytische, mathematische Gesetze für das Absterben der Bevölkerung geben und daraus ihre Entwicklung vorausberechnen.

Auf Grund der bisherigen Volkszählungen konnten bis heute acht schweizerische Absterbeordnungen aufgestellt werden. Sie beweisen eine fortlaufende Abnahme der Mortalität, wobei die Abnahme je nach Alter recht verschieden ist. Aus diesen Gründen

sollte eigentlich unsere Volkssterblichkeit funktional vom Alter und von der Zeit, also abhängig von zwei Variablen, dargestellt werden. Solche Untersuchungen wurden in den letzten Jahren in Schweden in vorbildlicher Weise durchgeführt. Vor wenigen Wochen wurde in einer Promotionsarbeit an unserer Hochschule das gleiche Problem wenigstens teilweise, nämlich für die Männer vom Alter 30 bis 70 behandelt. Außerdem hatte der betreffende Doktorand die Aufgabe, die wahrscheinlichsten Grenzwerte der Todeswahrscheinlichkeiten zu berechnen, gegen die sie vermutlich in der Zukunft konvergieren. Dazu wurde eine Methode benutzt, deren Hauptgedanke in ganz roher Form schon von D. Bernoulli stammt. Dieser hervorragende Denker hatte schon zu seiner Zeit festgestellt, daß sich die mittlere Lebenserwartung der damaligen Bevölkerung um zirka drei Jahre erhöhen würde, wenn die Blatternkrankheit wirksam bekämpft werden könnte. Vom erwähnten Doktoranden wurden nun die von der Statistik registrierten Todesursachen klassifiziert und ihr prozentualer Anteil an der Mortalität festgestellt. Auf Grund gewisser plausibler Hypothesen über die zukünftige Änderung dieser Prozentsätze gelangte dann der Autor zum Ergebnis, daß die Abnahme der Mortalitätswahrscheinlichkeit je nach Alter in der Zukunft für die schweizerische Bevölkerung noch zirka 30 bis 10 % betragen durfte. Selbstverständlich geben solche Überlegungen lediglich Anhaltspunkte über die Größenordnungen, die man zu erwarten hat. 4

Bekanntlich ist der Bevölkerungsaufbau von den Geburten, den Todesfällen und den Wanderungen abhängig. Die Wanderungen spielten in den letzten Jahren keine große Rolle mehr. Über ihre zukünftige Entwicklung irgendeine begründete Prognose zu stellen, ist unmöglich. Deshalb haben sich die Mathematiker und Statistiker darauf beschränkt, die Veränderungen im Aufbau der schweizerischen Bevölkerung durch die beiden andern das menschliche Leben beherrschenden Ereignisse, Geburt und Tod, zu untersuchen.

Vor allem interessiert die Frage, wie weit der Rückgang der Geburten kompensiert werden könne durch eine Abnahme der Mortalität. In dieser Beziehung liegen neben wertvollen Publikationen des Eidgenössischen Statistischen Amtes sorgfältige Untersuchungen seitens des Berner Statistikers P.-D. Dr Linder, vor. Unter Voraussetzung verschiedener Hypothesen, die sich heute noch nicht wesentlich geändert haben dürften, hat er vor wenigen Jahren festgestellt, daß bei der Mortalität vom Jahre 1932 eine Erhöhung der Geburten um 10,5 % gerade hinreichen würde, um den schweizerischen Bevölkerungsstand auf der bisherigen Höhe zu halten.5 Rechnet man umgekehrt mit der Geburtenfrequenz vom Jahre 1932, müßte die Mortalität um 79 % abnehmen, wenn die schweizerische Bevölkerung in den nächsten Jahrzehnten nicht zurückgehen soll. Daß aber eine so starke Abnahme der Mortalität sehr unwahrscheinlich ist, wurde schon ausgeführt. Rechnen wir damit, daß die Mortalität noch um 20 % zurückgehen werde, müßte die Geburtenanzahl um 8 % steigen, um den Gleichstand der schweizerischen Bevölkerung zu sichern. Ohne die Bedeutung solcher Zahlen überschätzen zu wollen, glaube ich, daß sie eindeutig ein schweres und dringendes Problem für unsern Staat, für unser Volk und dessen Behörden beleuchten.

Es wurden weiterhin Fragen behandelt, nach welcher Bevölkerungsstruktur eine Bevölkerung unter gewissen Hypothesen über Geburtenzahl und Mortalität strebe, — ob überhaupt stabile Strukturen zu erwarten seien. Solche Fragen haben mehr theoretisches Interesse, und ihre Beantwortung sollte unter keinen Umständen politischen Zwecken dienen. Ihre Behandlung ist aber deshalb bemerkenswert, weil dazu ähnliche Methoden der modernen Analysis dienen wie etwa zur Behandlung der elektrischen Einschwingvorgänge. Auch hier kommt es gelegentlich vor, daß man sich nicht sosehr um die Anfangserscheinungen als für das Verhalten im stabilisierten Zustande interessiert. Dies ist ein weiterer Hinweis darauf,

wie scheinbar ganz heterogene Fragen durch den Schmelztiegel der Mathematik auf die gleiche Form gebracht werden können. —

Es liegt in der Schwierigkeit der Materie begründet, daß ich mich vor einem weiteren Zuhörerkreis damit begnügen mußte, eine Anschauung über den behandelten Problemkreis zu vermitteln. Ich hoffe immerhin, bei Ihnen den Eindruck geweckt zu haben, daß auch auf dem Gebiete der Behandlung statistischer Fragen durch mathematische Methoden eine große Idee uns leitet: Wir glauben au die Kraft menschlicher Vernunft, scheinbar ganz ungeordnete Dinge ordnen, beschreiben und erklären zu können. Dieser Glaube bildet den Motor jeglicher wissenschaftlichen Arbeit, und je mehr Sie von ihm, meine liehen Studierenden, von der Hochschule ins Leben hinaustragen, um so kräftiger und reiner können Sie der Wissenschaft dienen.