A. Spaß mit dem Computer

Rektoratsrede von

Der Inhalt, den ich dem Thema meiner Rektoratsrede zu geben vorhabe, bedingt die Verwendung eines umfangreichen Bildmaterials in Form von Diapositiven und Filmen. Es ist deshalb nicht möglich, meine Ausführungen an dieser Stelle in vollem Umfang wiederzugeben, weshalb ich mich auf eine Zusammenfassung beschränken muß.

In seiner Schrift «Die Gegenwart in der Sicht des Durchschnittsbürgers» 1 schreibt Professor Max Kummer:

«Damit wären wir beim Computer angelangt, obschon sich der Marktschreierei verdächtig macht, wer ihn, längst zur Vulgarität gewordenes Aushängeschild des Fortschritts, heranbemüht. Aber es ist nicht zu bezweifeln: er verwandelt unsere Zeit, erzwingt einen Neubeginn unseres Verhältnisses zum Hilfsgerät, bricht die Alleinherrschaft der schöpferischen Intuition bei Führungsentschlüssen und schichtet die Gesellschaft oder Teile von ihr in andere hierarchische Gliederung um. Was wir vom Steinbeil bis zum Atombrenner an Werkzeugen schufen, war darauf angelegt, Handarbeit, Muskelkraft zu ersetzen. Der Computer ersetzt Kopfarbeit, ist nicht mehr Werkzeug, sondern Denkzeug, und seine Arbeitsweise so lautlos wie das Denken.

... Daß damit so etwas wie eine neue Epoche heraufziehe: wer wagte das auszuschließen? Wer aber wollte zeigen, wie sie aussieht? Zwar schickt sie erste Andeutungen bereits voraus. Sind wir aber im Blick über das Heute hinaus sicher, ihr nicht gleich ahnungslos zu begegnen wie jener Nomade in grauer Vorzeit dem ersten Rad, das unter seinen spielenden Händen Gestalt annahm?

So etwa die Andeutung, daß immer weniger über immer mehr zu Einfluß kommen, denn je leistungsfähiger die Denkzeuge, desto weiter reichen die Entschlüsse, wie sie einzusetzen seien. Nur noch Vereinzelte entscheiden aber hierüber.

... Vom Apparat erhofft man sich noch ganz andere Dinge, nichts weniger nämlich als die Revolutionierung des Unterrichts. Wo menschliches Verständnis und Einfühlen nach bisheriger Überzeugung am unerläßlichsten

waren, ausgerechnet da soll der Apparat eingreifen. Der Metallbearbeitungsmaschine folgt die Menschenbearbeitungsmaschine.»

In diesen Worten kommt ein weitverbreitetes und sicher nicht unberechtigtes Unbehagen gegenüber dem Computer zum Ausdruck. Er erscheint als zweifelhaftes Geschenk einer kleinen Zahl genialer Zeitgenossen und einer geschäftstüchtigen Industrie an die Allgemeinheit, durch das diese ungefragt mit schwerwiegenden Problemen konfrontiert wird. Ich möchte nicht so vermessen sein, eine Antwort auf die Frage geben zu wollen, ob die Belastung mit diesen Problemen eher positiv oder negativ zu werten sei. Da sie wenigstens zum Teil unsere ohnehin in einem Umbruch befindliche Gesellschaftsstruktur betreffen, ist es aber immerhin denkbar, daß gerade durch die Existenz des Computers wesentliche Fragen bewußt gemacht werden, die ohne ihn verdrängt würden, ohne deswegen inexistent zu sein. Im Sinne einer gerechten Verteilung von Licht und Schatten darf auch erwähnt werden, daß unserer Generation außergewöhnlich große, an die Grundlagen unserer Existenz rührende Aufgaben gestellt sind, deren Ursachen keineswegs beim Computer liegen, die aber ohne ihn kaum zu bewältigen wären. Ich denke dabei etwa an die Entwicklung und Durchführung einer globalen Strategie des Umweltschutzes und weitere Probleme im Zusammenhang mit der drohenden Bevölkerungsexplosion.

Wenn ich nun im folgenden beabsichtige, Ihnen den Computer von seiner helleren Seite, sozusagen als Freund und Helfer des Menschen vorzustellen, so werde ich mich von solchen Problemen globalen Ausmaßes in den bescheideneren Rahmen der alltäglichen wissenschaftlichen Arbeit zurückziehen, und Ihnen also den Computer im Dienste der Wissenschaft, das Denkzeug als Werk- und Spielzeug des Forschers darzustellen versuchen. Das letzte Attribut mag Sie in Anbetracht der hohen Kosten dieser Instrumente und der auf Unverständnis beruhenden Ehrfurcht, die ihnen in weiten Kreisen entgegengebracht wird, erstaunen, findet aber seine Rechtfertigung abgesehen von persönlicher Erfahrung darin, daß ich oft Gelegenheit habe, Mitarbeiter unserer Universität bei der Arbeit mit dem Computer zu beobachten und mich über

den Spaß zu freuen, mit dem sie sich seiner bedienen, was wiederum darin begründet sein dürfte, daß dem spielerischen Element —im besten Sinne des Wortes — in der Forschung eine nicht zu unterschätzende Bedeutung zukommt. Zwar möchte ich durchaus niemandem nahetreten und deshalb nicht ausschließen, daß es von solchem Ernst erfüllte Wissenschaften geben könnte, daß Spiel und Spaß in ihnen keinen Raum finden. Mindestens der Zustimmung meiner Fachkollegen glaube ich allerdings sicher sein zu dürfen, wenn ich feststelle, daß die Mathematik eine ausgesprochen heitere Wissenschaft ist, in welcher die spielerische Beziehung zum erforschten Gegenstand zu allen Zeiten eine schöpferische Kraft gewesen ist, der größte Entdeckungen zu verdanken sind. Oder denken wir etwa an die Physiker, die sich gewaltige Modelle des Mikro- und des Makrokosmos konstruieren, Modelle, mit denen sich phantastische Gedankenspiele treiben lassen, ohne die Fahrten zum Mond und den Planeten undenkbar wären.

Da nun der Computer infolge seiner Programmierbarkeit eine universelle Maschine ist, deren Möglichkeiten grundsätzlich alles umfassen, was sich in logischen Beziehungen und quantitativen Verhältnissen ausdrücken läßt, gestattet er die Nachbildung aller dieser Modelle und wird so zum Universalspielzeug des Forschers. Wenn ich auch meinen nun folgenden Ausführungen den Maßstab wissenschaftlichen Ernstes anlegen möchte, so hoffe ich doch, daß Sie da und dort den Spaß herausfühlen werden, den die Arbeit mit dem Computer dem Forscher zu bereiten vermag.

Man hat oft versucht, Vergleiche zwischen dem Computer und biologischen Systemen, zum Beispiel dem Nervensystem des Menschen herzustellen. Bisher haben allerdings solche Vergleiche vor allem die bedeutenden Unterschiede zwischen Mensch und Maschine bewußt gemacht. Während der Computer auf die Verarbeitung von digitalem Material hin ausgelegt ist, also etwa Folgen von Zahlen und Buchstaben von Lochkarten liest, sie durch millionenfache Verknüpfung verarbeitet und am Ende wieder ebensolche Buchstaben- und Zahlenfolgen druckt, ist, um nur ein Beispiel zu nennen, etwa die mühelose Interpretation von

Bildern, das Erkennen von Gestalten eine typische Fähigkeit des Menschen, der auch im wissenschaftlichen Erkenntnisprozeß eine fundamentale Bedeutung zukommt. So entstand schon früh in der Geschichte des Computers das Bedürfnis, zwischen tabellen- und bildhafter Darstellung eine Brücke zu schlagen, also den Computer dahin zu bringen, Resultate nicht nur in der Form endloser Zahlentafeln, sondern auch in Bildern darzustellen, später auch Bilder zu verarbeiten, um ihren Informationsgehalt dem Menschen noch besser zugänglich zu machen. Über diesen besonders faszinierenden Ausschnitt aus der Gesamtheit der Computeranwendungen, also über Bilderzeugung, Bilddarstellung und Bildverarbeitung, möchte ich Ihnen nun einiges erzählen. Da aber bekanntlich «ein Bild mehr sagt als tausend Worte», wäre die Durchführung meiner Absicht ohne die Verwendung von Bildern ein Ding der Unmöglichkeit. Deshalb muß ich mich in der gedruckten Form meiner Ausführungen, in der das Bildmaterial nicht zur Verfügung steht, für das Folgende auf eine gekürzte, oft nur andeutende Wiedergabe beschränken.

Für die Darstellung von Bildern stehen dem Computer verschiedene Instrumente zur Verfügung, die von ihm direkt oder mit Hilfe eines geeigneten Datenträgers (zum Beispiel Magnetband) gesteuert werden. Da ist einmal der gewöhnliche Drucker, mit dem Bilder dargestellt werden können, indem Buchstabenkombinationen verschiedener Schwärzungsgrade an den geeigneten Stellen geschrieben werden. Dieses Verfahren ist, allerdings bei beschränkter Bildqualität, verhältnismäßig rasch und billig. Es folgt der Plotter, ein vom Computer gesteuertes Zeichengerät, das sehr genau, dafür langsam ist. Das nächste Glied in der Kette ist der Bildschirm, eine Art Fernsehapparat, der sehr rasch arbeitet, in schneller Folge immer wieder neue Bilder erzeugen kann und sich deshalb ganz besonders für eine interaktive Arbeitsweise zwischen Mensch und Maschine eignet. Schließlich ist der Mikrofilm zu erwähnen, der ebenfalls mit Hilfe eines vom Rechner gesteuerten Kathodenstrahls beschriftet oder «bezeichnet» werden kann, ein Verfahren, das sich durch große Schnelligkeit auszeichnet.

Um die Möglichkeiten dieser verschiedenen Instrumente zu zeigen, sei mit einigen Beispielen aus der Mathematik begonnen. Vorauszuschicken ist allerdings, daß, auf den ersten Blick überraschenderweise, die Mathematiker bis heute sehr wenig Gebrauch vom Computer gemacht haben, außer etwa für die Durchführung anspruchsvoller numerischer Berechnungen. Demgegenüber geht es aber in der mathematischen Forschung in erster Linie um die Gewinnung allgemeingültiger Aussagen. Dabei wird der Mathematiker oft in einer ersten Phase durch einen intuitiven Prozeß, für den sich kaum allgemeine Regeln aufstellen lassen, zu einer Vermutung gelangen, die dann in einer zweiten Phase zu beweisen ist. Da es bis heute nur in ganz einfachen Fällen möglich ist, Beweise mit dem Computer zu finden, kann dieser im allgemeinen höchstens dazu verwendet werden, eine Vermutung mittels Durchrechnung von Spezialfällen entweder zu erhärten oder zu widerlegen, ein an sich bescheidener Beitrag, den jedoch nicht verachten wird, wer selber erlebt hat, wie mühsam solche Rechnungen etwa in der Gruppen- oder Graphentheorie sind — zwei willkürlich ausgewählte Disziplinen, die dem Computer durchaus zugänglich sind. Die beiden folgenden elementaren Beispiele mögen zeigen, daß gerade die bildliche Darstellung eine wertvolle Hilfe sein kann.

Das erste Beispiel betrifft die elementare Übungsaufgabe, diejenigen Binomialkoeffizienten zu bestimmen, die durch eine gegebene natürliche Zahl t teilbar sind. Die meisten Studenten werden versuchen, zuerst das allgemeine Gesetz anhand von Zahlenbeispielen im Sinne einer Vermutung zu erkennen, um es dann zu beweisen, wobei wohl der erste Teil der schwierigere sein wird. Hier kann nun der Computer helfen, indem von ihm verlangt wird, daß er mit dem Drucker diejenigen Stellen des Pascalschen Dreiecks markiere, an denen eine durch t teilbare Zahl steht. Dadurch entsteht eine übersichtliche Figur, aus der das gesuchte Gesetz abgelesen werden kann.

Das zweite Beispiel geht auf den Mathematiker S. Ulam zurück, von dem erzählt wird, daß er während eines langweiligen Vortrags begonnen habe, die natürlichen Zahlen längs einer «viereckigen Spirale» anzuordnen,

und hernach die Primzahlen unter ihnen besonders zu markieren. Wir haben in unserem Rechenzentrum dieses Spiel bis ungefähr zur Zahl 400000 weitergeführt und dann mit Hilfe des Plotters die Stellen markiert, an denen eine Primzahl steht. An der entstehenden quadratischen Figur fällt vor allem auf, daß gewisse Parallelen zu den Diagonalen besonders hervortreten, also viele Primzahlen enthalten. Das bedeutet die Existenz von Polynomen zweiten Grades, die, wenn man für ihr Argument ganze Zahlen einsetzt, überraschend viele Primzahlen erzeugen, eine Tatsache, die schon Leonhard Euler entdeckt hat. So erzeugt etwa das Polynom x2 + x + 41 eine ununterbrochene Folge von 40 Primzahlen. Beim Polynom x 2 -x + 72491 sind es sogar deren 11000! Mit dem Computer kann also nicht nur gezeigt werden, daß die von Euler gefundenen «primzahlreichen» Polynome keine vereinzelte Erscheinung sind, vielmehr gestattet er, viele weitere Beispiele zu finden und führt außerdem zu interessanten Fragen. So etwa: «Gibt es Polynome zweiten Grades, die unendlich viele Primzahlen darstellen und, wenn ja, wie viele?» oder schärfer: «Gibt es zu jeder Primzahl ein Polynom zweiten Grades, das diese und unendlich viele weitere Primzahlen als Werte annimmt?» Meines Wissens ist nicht einmal die Antwort auf den ersten Teil der ersten Frage bekannt.

Handelte es sich bei diesen beiden Beispielen um die anschauliche Darstellung abstrakter mathematischer Sachverhalte, so hat in letzter Zeit die Bilderzeugung im engeren Sinn der zweidimensionalen Wiedergabe dreidimensionaler Objekte für viele Anwendungen eine große Bedeutung erlangt. Dabei stellt sich vorerst einmal das Problem, das betreffende Objekt zu beschreiben. Das ist verhältnismäßig einfach, solange es sich um ein Polyeder handelt, also um einen Körper, der durch Ecken, geradlinige Kanten und ebene Flächenstücke begrenzt ist. Hier genügt es, die Koordinaten der Ecken anzugeben und eine Liste der Kanten und Seitenflächen, jede mit ihren Eckpunkten versehen, aufzustellen. Die Berechnung der Koordinaten der Projektionen dieser Elemente in eine gegebene Bildebene von einem gegebenen Augenpunkt aus ist dann eine elementare Aufgabe. Etwas schwieriger ist die Bestimmung

der unsichtbaren Ecken und Kanten. Ein mögliches Verfahren besteht darin, daß man von jeder Seitenfläche den Schattenbereich berechnet, den sie bei Beleuchtung vom Augenpunkt aus erzeugen würde, und dann für jeden Eckpunkt bestimmt, ob er in einem dieser Schattenbereiche liege. Nach dieser rechnerischen Vorbereitung durch den Computer kann die Projektion etwa mit dem Plotter gezeichnet oder auf dem Bildschirm dargestellt werden. Der letztere bietet außerdem die Möglichkeit, je nach angenommener Beleuchtung des dargestellten Gegenstandes verschiedene Tönungen zum Ausdruck zu bringen und auch farbige Bilder zu erzeugen.

Diese Art der Darstellung wird heute in der Praxis oft verwendet, so etwa in der Architektur, indem, wenn einmal die geometrische Form eines Gebäudes oder einer Gebäudegruppe beschrieben ist, mit Leichtigkeit die verschiedensten perspektivischen Ansichten erzeugt werden können.

Natürlich ist es auch ohne weiteres möglich, stereoskopische Bildpaare zu erhalten, die, wenn man sie durch eine der bekannten grün-roten Brillen betrachtet, ein räumliches Sehen des dargestellten Gegenstandes vermitteln. Damit kann auf kostspielige räumliche Modelle verzichtet werden, so etwa in der Stereometrie oder durch Darstellung von Molekülen und Kristallstrukturen in der Chemie und Kristallographie.

Während also die Darstellung polyedrischer Körper verhältnismäßig einfach ist, steckt das Problem der Abbildung von Objekten, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind, ja nur schon das Teilproblem der «computergerechten» Beschreibung solcher Objekte, noch durchaus in den Kinderschuhen. Immerhin sind auch hier wertvolle Ansätze vorhanden, beispielsweise im Hinblick auf die graphische Darstellung von Funktionen zweier Variabler.

Eine besonders dankbare Anwendung besteht in der Erzeugung von Filmen. Infolge seiner Schnelligkeit wird es vor allem durch den Bildschirm ermöglicht, innert nützlicher Zeit eine Folge von Bildern herzustellen, die einem bewegten Gegenstand oder einem bewegten Beobachter entsprechen. Photographiert man dann die auf dem Bildschirm

aufeinanderfolgenden Bilder, so erhält man einen Film. Solche computererzeugten Filme scheinen sich in neuester Zeit zu einem wertvollen Instrument für Planungsaufgaben aller Art zu entwickeln, etwa im Städtebau, der Projektierung von Autobahnen und Flughäfen oder in der Raumfahrt.

Lassen Sie mich nochmals kurz zur Mathematik zurückkehren. Besonders schöne Anwendungen der graphischen Möglichkeiten des Computers stammen aus dem Gebiet der geometrischen Wahrscheinlichkeiten. Ermöglicht werden sie dadurch, daß man Algorithmen kennt, mit deren Hilfe Folgen von Zahlen berechnet werden können, die sich mit großer Genauigkeit wie zufällige Folgen verhalten. Diese Möglichkeit ist praktisch von sehr großer Bedeutung, gestattet sie doch die Simulation von natürlichen oder technischen Vorgängen, bei denen der Zufall eine Rolle spielt, ein Verfahren, das heute als «Monte-Carlo-Methode» wohl das weitestverbreitete der angewandten Mathematik ist. Mit Hilfe eines Plotters oder Bildschirmes ist es nun möglich, zufällige geometrische Tatbestände graphisch darzustellen, also etwa auf einem Blatt Papier zufällig verteilte Punkte oder Geraden zu zeichnen. Im Sinne eines Beispiels sei hier eine Arbeit von Hadwiger und Streit über Bündelungserscheinungen erwähnt, in welcher, ich beschränke mich hier auf einen Spezialfall, das folgende Problem gelöst wird: In einer Ebene sind n zufällige Geraden gegeben, von denen verlangt ist, daß sie ein gegebenes Rechteck schneiden, von denen also ein Stück auf einem gegebenen Blatt Papier erscheint. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in diesem Rechteck ein Kreis von gegebenem Radius r enthalten ist, der von jeder der n Geraden getroffen wird. Bei kleinem r entspricht dies dem anschaulichen Begriff der Bündelung. Mit Hilfe des Computers und eines Plotters kann man nun die der Problemstellung von Hadwiger und Streit zugrunde liegende Sachlage in beliebig vielen Variationen realisieren, sie damit veranschaulichen und, sofern man das Bedürfnis hat, die Resultate überprüfen.

Die dabei und bei vielen anderen geometrischen und kinematischen Zufallsphänomenen entstehenden Graphiken weisen nun eine frappante

Ähnlichkeit mit Bildern auf, die im Rahmen der sogenannten Computergraphik oder «Kunst aus dem Computer» entstanden sind. Es ist auf den ersten Blick überraschend, daß die ästhetisch ansprechendsten Produkte dieser Richtung durch eine Kombination von Gesetz und Zufall entstehen, also etwa durch vielfache Wiederholung einer gesetzmäßigen Grundfigur variabler Größe und Lage, deren konkrete Wahl dem Zufall überlassen wird. Auch in dieser Arbeitsrichtung, in der sich in den letzten Jahren an verschiedenen Orten Mathematiker oder Informatiker mit Künstlern zusammengeschlossen haben, hat man sich die Zeit als dritte Dimension zunutze gemacht und abstrakte Filme ästhetischen Inhalts mit dem Computer produziert.

Wenn auch naheliegend, so ist es doch müßig, zu fragen, ob solche Produkte des Computers als Kunstwerke anerkannt werden können. Bedeutender ist wohl die Feststellung, daß die auf diese Weise entstandenen Werke durch das den Computer steuernde Programm, das die logischen Zusammenhänge enthält, und die Werte, die man freien Parametern gibt, eindeutig bestimmt und damit logisch und quantitativ vollständig erfaßbar sind. Damit eröffnen sich der Ästhetik neue Wege, wie sie vor allem von Max Bense beschritten worden sind.

Während wir uns bisher mit der Erzeugung und Darstellung von Bildern durch den Computer beschäftigt haben, möchte ich jetzt zum Thema der Bildverarbeitung übergehen, deren Ziel es ist, die in einem Bild, das in der Regel auf andere Weise, etwa durch Photographie entstanden ist, enthaltenen informationen so aufzubereiten, daß sie dem Menschen besser als im Original zugänglich werden. Da der Computer eine digitale Maschine ist, besteht der erste Schritt jeder Bildverarbeitung in einer Digitalisierung des Bildes, das in der Regel von kontinuierlichem Charakter sein wird. Diese Digitalisierung kann etwa so vorgenommen werden, daß man über das Bild ein feines quadratisches Gitter legt, die Schwärzungsgrade in den Gitterpunkten mißt und sie durch den jeweils nächstgelegenen aus einer endlichen Anzahl von Werten annähert. Damit wird das Bild auf eine endliche Folge von Zahlen abgebildet, womit es dem Computer zugänglich wird. Ein auf diese Weise digitalisiertes

und gespeichertes Bild kann jederzeit wieder mit dem Drucker, dem Bildschirm oder auf Mikrofilm reproduziert werden.

Mathematisch sehr einfache Arten der Verarbeitung sind nun etwa das Herausschneiden besonders interessanter Bildausschnitte, Maßstabänderungen oder die Anwendung weiterer geometrischer Transformationen, sowie die Darstellung von Schnitten durch ein Bild mittels Intensitätskurven. Als Beispiel für eine anspruchsvollere Verarbeitung sei die Äquidensitentechnik genannt, die zu Bildern führt, in denen mehrere Bereiche konstanten Schwärzungsgrades durch verschiedene Färbung auseinandergehalten werden, wodurch die im Original enthaltenen Informationen klarer hervortreten, eine Technik, die unter anderem in der medizinischen Diagnostik (Interpretation von Röntgenbildern) Anwendung findet. Zu den vom Mathematiker aus gesehen anspruchsvollsten Arten der Bildverarbeitung gehört die Anwendung digitaler Filter nach der Wienerschen Filtertheorie, mit der Geräusch und andere Störungen der Originalbilder eliminiert oder wenigstens gemildert werden können. Auch diese Filterung von Bildern hat nebst vielen anderen Anwendungen in die Biologie und Medizin Eingang gefunden, wo sie zum Beispiel in der Nuklearmedizin eine wertvolle Hilfe für die Interpretation von Scintigrammen darstellt. Ein entsprechendes Verfahren für die Früherkennung des Krebses ist an der Universität Freiburg i. Br. in Zusammenarbeit mit der Firma IBM entwickelt worden.

Unter den verschiedenen Problemen der Bildverarbeitung übt wohl dasjenige der Gestalterkennung, besser bekannt unter der englischen Bezeichnung «pattern recognition», eine besondere Faszination auf den Forscher aus. Seine vielfältigen Anwendungen spannen einen weiten Bogen vom maschinellen Lesen handgeschriebener Buchstaben über die Identifizierung von Fingerabdrücken, das automatische Erkennen von Blasenkammerereignissen oder besonderer Wetterlagen, die Analyse von Cardiogrammen und Encephalogrammen bis zu Gestaltuntersuchungen an Chromosomen und zur Blutkörperchenanalyse.

Während wir Menschen, wie ich schon früher bemerkt habe, mit größter Selbstverständlichkeit Gestalten zu erkennen und zu unterscheiden

vermögen (womit nichts über die Komplexität der Vorgänge, die sich in unseren Netzhäuten und im Gehirn abspielen, gesagt sein soll), ist diese Aufgabe dem Computer heute nur mit Hilfe anspruchsvollster mathematischer Methoden zugänglich, von denen man zum vornherein den Eindruck hat, daß sie mit der Programmierung unseres Gehirns kaum etwas gemeinsam haben. Es wäre wohl einer der bedeutendsten denkbaren Erfolge interdisziplinärer Forschung, wenn es gelänge, einen Computer zu bauen und zu programmieren, der das Problem der Gestalterkennung nach den Prinzipien der höheren Lebewesen zu lösen imstande wäre. Ein Erfolg, der allerdings noch in weiter Ferne liegen dürfte.

Eines der mathematischen Verfahren zur Gestalterkennung sei hier noch kurz angedeutet. Interpretiert man die endlich vielen Zahlen, die ein digitalisiertes Bild charakterisieren, als Koordinaten in einem vieldimensionalen Raum, so entspricht jedem Individuum, dem eine bestimmte Gestalt zukommt, ein Punkt in diesem Raum, der Gestalt selber, die ja durch verschiedenartige Individuen angenommen wird, ein Punkteschwarm. Nimmt man vorerst an, daß die konvexen Hüllen der Punkteschwärme, die endlich vielen verschiedenen, voneinander zu unterscheidenden Gestalten zugehören, paarweise disjunkt seien, so weiß man aus der linearen Algebra, daß diese Schwärme durch endlich viele Ebenen voneinander getrennt werden können. Damit ist jede Gestalt durch eine individuelle Vorzeichenkombination endlich vieler linearer Funktionen charakterisiert. In Wirklichkeit ist das Problem allerdings dann etwas schwieriger, wenn die erwähnte Trennung durch Ebenen nicht einwandfrei möglich ist. Hier hat nun aber die statistische Entscheidungstheorie die Grundlagen bereitgestellt, die es gestatten, das Problem auch in komplexeren Situationen zu lösen, ja sogar adaptive Algorithmen zu konstruieren, was bedeutet, daß der Computer mit zunehmender Erfahrung lernt, seine Aufgabe immer besser zu lösen. Als praktische Anwendung der skizzierten Lösung des Gestalterkennungsproblems sei etwa das an der University of Rochester entwickelte Verfahren der Blutkörperchenanalyse mittels Computer genannt.

Meine Damen und Herren, ich habe selber in früheren Jahren oft mit dem Computer gearbeitet und ihn als fähiges und jederzeit bereites Hilfsgerät schätzen gelernt. Gewissermaßen aus Dankbarkeit ihm gegenüber habe ich mich heute bemüht, ihn von einer seiner besten Seiten zu präsentieren. Keineswegs möchte ich aber damit die Absicht verbinden, und damit komme ich auf die Mahnungen von Professor Kummer zurück, seine Schattenseiten zu bagatellisieren. Er hilft bei der Konstruktion von Autobahnen — die Frage jedoch, ob Autobahnen sinnvoll seien, liegt außerhalb seiner Kompetenz. Höchstens kann er als Instrument einer umfassenden Umweltplanung einen Beitrag zu ihrer Beantwortung leisten. Raumfahrt wäre ohne den Computer undenkbar; ihn, für den es Gut und Böse nicht gibt, deswegen dafür verantwortlich zu machen, daß Raumfahrt auch ein Instrument der Machtpolitik ist, wäre absurd. Vielmehr ist gerade unsere Generation aufgerufen, ihre Verantwortung als Beherrscherin unseres Planeten, und bald wohl auch des Sonnensystems, wahrzunehmen und die unendlich schwierige Aufgabe zu lösen, den auf sie einstürmenden Errungenschaften der Wissenschaft die Schranken aufzuerlegen, die auch zukünftigen Generationen die freie Gestaltung eines menschenwürdigen Daseins erlauben werden.