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Rektorats Reden © Prof. Schwinges

LES THÉORIES DE LA RELATIVITÉ

A. INTRODUCTION

Excellences, Messieurs les membres du Gouvernement, Mesdames et Messieurs,

Les professeurs de la Faculté des Sciences titulaires des chaires des sciences exactes, en opposition aux chaires des sciences biologiques et naturelles, qui furent mes prédécesseurs à cette place, vous ont parlé d'une façon générale de la structure de la matière, vous ont exposé les conceptions actuelles, en entendant par là celles du premier tiers du XXe siècle, sur la nature du microcosme.

Le 15 novembre 1901, M. le professeur Heinrich Baumhauer parlait, disons plutôt dans cette même salle que à cette même assemblée, de l'origine et des relations mutuelles des formes cristallines. Le 15 novembre 1905, mon regretté et vénéré maître, M. Franz Daniëls intitulait son discours inaugural: La théorie des électrons. Il montrait que l'électron, ce corpuscule de quelques billionièmes, aujourd'hui nous dirions quelques trillionièmes de mm. de diamètre, qui constitue les atomes et les molécules des corps, n'a plus de masse réelle,

n'a qu'une masse apparente et de nature électromagnétique, qui croît avec la vitesse; au fond que cet électron qui est aujourd'hui le dernier élément irréductible de la matière est de l'énergie pure, croissante avec la vitesse. M. le professeur Albert Gockel, seize ans plus tard, le 15 novembre 1921, nous parlait d'un sujet plus particulier, mais dans lequel ions et électrons jouent le rôle fondamental: les courants électriques dans l'atmosphère.

Le 15 novembre 1929, M. le professeur Paul Joye intitulait son discours: La matière et l'atome. Il reprend la constitution de l'atome et le décrit comme représentant, dans ce que nous appelons relativement à nous, c'est-à-dire à nos sens et à nos moyens de mesure, l'infiniment petit, quelque chose d'analogue à notre système solaire avec ses planètes: le noyau de l'atome, le proton, chargé d'électricité positive, correspondant au soleil; les électrons qui gravitent à des distances relativement énormes du noyau, correspondant aux planètes. Enfin il y a quatre ans, en 1933, mon collègue, M. le professeur Henri de Diesbach, nous parlait du problème des catalyseurs naturels, principalement de deux problèmes nouveaux de la chimie moderne, ceux des vitamines et des hormones; questions qui se rattachent déjà plus immédiatement aux problèmes biologiques et à la structure particulière de la matière organisée pour la vie.

Ma pensée était depuis longtemps déjà, si je devais avoir un jour le grand honneur de parler de cette place, à cette illustre assemblée, d'ajouter à ce tableau un complément essentiel, en vous parlant des conceptions actuelles sur la nature du macrocosme, que représentent la théorie, ou disons mieux: les théories de la relativité. Aujourd'hui, devant mon sujet, je me sens sérieusement handicapé pour deux raisons. La première est celle-ci: en vous faisant aujourd'hui cet exposé, je suis en retard considérablement. Nous avons dépassé le premier tiers du XXe siècle et les théories d'Einstein sont de 1905 et de 1911 à 1915. Elles ont mis le premier quart du XXe siècle à renverser l'édifice des conceptions anciennes et

à s'imposer à la généralité de ceux que préoccupent les problèmes de l'Univers physique; mais aujourd'hui le remous exceptionnel qu'elles ont produit s'est apaisé et l'efflorescence magnifique de travaux et de traités qu'elles ont suscité s'est quelque peu atténuée. Par contre elles demeurent évidemment et sont sans aucun doute à considérer dans leurs parties essentielles comme un acquis définitif.

La seconde raison qui me cause un souci sérieux est la suivante. La conception de l'Univers que je vais essayer de vous décrire, est une conception géométrique; elle relève ainsi, pour le moins, autant du mathématicien que du physicien et, à ce titre, je m'y suis intéressé depuis longtemps déjà. Or vous faire ici, dans le peu de temps que j'ai à disposition, un exposé constructif détaillé d'une théorie géométrique et physique abstraite, qui exige normalement pour l'exposer des traités étendus, qui est en opposition flagrante avec ce qui paraissait jusqu'ici solidement établi, comme base de la mécanique classique ou question de simple bon sens, est évidemment une tâche impossible.

Je ne vais que succinctement vous donner le point de départ des théories dc la relativité, le principe et les conséquences de la relativité restreinte, les lignes essentielles de la relativité généralisée. Ce que je ne pourrai pas mettre dans l'heure que je crois être en droit de vous demander ici, je vous serai reconnaissant si vous voulez bien me faire l'honneur de le lire dans le texte imprimé qui est habituellement le sort du discours rectoral. Vous y trouverez un exposé plus étendu de la relativité généralisée, toujours naturellement dépouillé autant que possible de l'appareil et en tout cas des démonstrations mathématiques, et pour terminer les vérifications expérimentales qui ont confirmé depuis, d'une manière exceptionnelle, les théories d'Einstein 1.

Je cours donc ainsi aujourd'hui, avec un tel sujet, deux risques dont je m'excuse: celui de répéter des choses connues pour ceux d'entre vous qui ont, dès le début, étudié et approfondi les conceptions d'Einstein, et celui de n'être pas clair et très incomplet pour ceux d'entre vous (mais j'espère que c'est encore le grand nombre) qui les abordent sérieusement pour la première fois.

B. LA RELATIVITÉ RESTREINTE

1. Le principe de relativité de la mécanique.

Je commence par poser deux faits desquels nous sommes depuis longtemps absolument certains.

a) Tous les mouvements que nous constatons sont relatifs. L'avion par exemple, se meut par rapport à l'air environnant; mais cet air et l'atmosphère terrestre qui nous environne se meuvent avec la terre à une vitesse, composée de la rotation de la terre sur elle-même et de sa translation autour du soleil, de 30 km. à la seconde. Le soleil lui-même est une étoile parmi un nombre énorme d'étoiles, plus de 100 000 millions. Cette masse d'étoiles est disposée à peu près comme une roue dont la voie lactée serait la jante; on sait aujourd'hui que cette roue tourne lentement autour d'un moyeu, à une vitesse pour le soleil de 275 km. à la seconde. D'ailleurs cette roue, cette galaxie comme on l'appelle, n'est pas la seule; au-delà de notre galaxie, il y en a d'autres, des galaxies extérieures

animées de mouvements semblables et il est clair depuis longtemps, que dans cette voie on ne saurait arriver à un élément de repère auquel on puisse rapporter un mouvement absolu.

b) Dans un système en mouvement rectiligne et uniforme, les faits mécaniques se produisent exactement comme si le système était au repos. Par exemple, dans un wagon d'un train express se mouvant sans heurt, avec une vitesse constante, sur une voie absolument droite, le mouvement d'une bille sur le plancher du wagon est exactement le même que si le wagon était encore stationné à la gare. Si vous jouez aux billes sur le plancher de ce wagon, lancé à 100 km. à l'heure, les trajectoires du jeu sont exactement pareilles à celles que vous auriez en lançant vos billes avec les mêmes forces et dans les mêmes directions, dans le wagon au repos. Si le wagon est entièrement fermé et roule sans bruit et sans heurt, il vous est impossible par des faits mécaniques de déceler le mouvement du wagon; tout s'y passe au point de vue mécanique comme si le wagon était au repos. C'est pourquoi le deuxième fait que j'énonce ici et qui s'appelle le principe de relativité de la mécanique s'énonce aussi: Il est impossible dans un système clos en translation uniforme 2, de déceler par des expériences mécaniques le mouvement du système.

2. Le problème du mouvement absolu et l'expérience de Michelson-Morley.

Les théories de la relativité sont alors sorties du problème fondamental suivant. Là où il n'y a pas de matière sous l'une de ses trois formes, solide, liquide ou gazeuse, il y a le vide, c'est-à-dire l'absence de matière perceptible par nos sens ou

par nos instruments. Dans ce vide, dans les espaces interstellaires par exemple, se propage à la vitesse bien connue de 300000 km. à la seconde, le phénomène lumineux. On sait aujourd'hui que l'onde lumineuse, l'onde calorifique, l'onde électrique, sont des phénomènes de même nature, des formes diverses de l'énergie rayonnante. On se représentait jusqu'ici depuis Maxwell ce phénomène de l'énergie rayonnante comme une perturbation de nature électromagnétique se propageant dans le vide dans toutes les directions, disons grossièrement, à la manière d'une onde sur la surface d'une eau tranquille. Aujourd'hui après les théories de de Broglie, la représentation que l'on se fait du phénomène est plus complexe.

Quoiqu'il en soit nous avons dans l'énergie rayonnante, nous l'appellerons l'onde électromagnétique, un phénomène général se propageant à une vitesse donnée dans un milieu, le vide, nous l'appellerons l'éther, sans nous occuper ici des propriétés de cet éther. Pouvons nous déterminer notre vitesse, la vitesse du point de la surface terrestre où nous sommes, par rapport à cet éther? Tel est le problème que l'on a cherché à résoudre, principalement par une expérience célèbre, montée pour la première fois il y a exactement cinquante ans par deux physiciens américains: Michelson et Morley.

Le principe de l'expérience est le suivant: Un nageur situé en un point A au bord d'un fleuve ne mettra pas le même temps à nager jusqu'en un point B avec retour au point A, si le point B est en face de lui sur l'autre rive ou s'il est en amont ou en aval de lui sur la même rive, bien qu'à la même distance. Pratiquement, tout nageur admettra ce fait sans autre; théoriquement, il est facile de l'établir et de calculer le rapport des durées des deux trajets transversal et longitudinal. Ce rapport dépend évidemment et uniquement du rapport de la vitesse du courant à la vitesse du nageur.

Dans l'expérience de Michelson et Morley, le fleuve était la masse de l'éther à travers laquelle nous passons, coulant donc en sens inverse entre les murs du laboratoire comme une rivière entre ses bords. Les nageurs étaient deux ondes

lumineuses que l'on envoyait nager dans cet éther à la vitesse que nous savons, l'une dans un sens, l'autre dans le sens perpendiculaire au premier. Au retour par l'interférence des deux ondes lumineuses, on pouvait mesurer d'une façon très précise le retard attendu de l'une par rapport à l'autre. Au grand étonnement de Michelson et Morley, l'expérience fut muette. Ne connaissant pas la direction du courant d'éther, on fit l'expérience dans différents couples de directions perpendiculaires, l'appareil permettant des orientations différentes. Comme il se pouvait aussi qu'il n'y eut réellement aucun courant d'éther au moment de l'expérience, on répéta l'expérience six mois plus tard, quand la vitesse de translation de la terre autour du soleil a changé de sens, de façon à opérer sûrement dans un cas où la vitesse du laboratoire par rapport à l'éther soit au moins de 30 km. sec. Bref, on répéta l'expérience dans des conditions variées d'heure du jour, époque de l'année, altitude; dans une reprise de l'expérience faite en 1905, par Morley et Miller, une vitesse de 3 km./sec. du laboratoire par rapport à l'éther aurait pu être décelée. L'expérience resta toujours muette; aucun retard n'apparut dans la marche des deux ondes lumineuses; le sphinx de la nature gardait sou impassibilité.

3. Explication immédiate du résultat négatif de l'expérience: entraînement de l'éther par les corps en mouvement.

Il y aurait eu une explication immédiate au résultat négatif de l'expérience de Michelson; il suffisait d'admettre que l'éther, comme la couche d'air athmosphérique, est entraîné totalement par la terre dans son mouvement à travers l'espace. Bien avant Michelson et Morley, on avait déjà longuement cherché si l'éther situé à l'intérieur et au voisinage de la terre subissait un entraînement du fait du mouvement terrestre, ou bien s'il passait librement dans les vides entre les atomes constituant la matière. L'aberration astronomique

démontrait d'une manière catégorique l'immobilité de l'éther. D'autre part Arago et Fizeau en recherchant l'effet du mouvement d'un milieu transparent sur la vitesse de la lumière traversant ce milieu, avaient conclu à un entraînement partiel de l'éther par la matière en mouvement. Mais leurs expériences étaient des expériences dites du premier ordre, c'est-à-dire qu'elles ne permettaient de mesurer que le terme du premier degré en fonction du rapport de la vitesse du milieu transparent à celle de la lumière.

L'expérience de Michelson était la première réussite d'une expérience assez délicate pour être à même de déceler des effets du second ordre, c'est-à-dire proportionnels au carré du rapport précédent. Son résultat négatif semblait donc décider en faveur d'un entraînement total de l'éther par la terre. Stokes chercha à concilier ce point de vue avec le phénomène de l'aberration; muais sa théorie parut insoutenable. Lodge chercha expérimentalement si des corps plus petits entraînaient l'éther dans leur mouvement et il montra que l'éther, situé entre deux disques d'acier placés l'un en face de l'autre et tournant dans le même sens, ne subissait aucune modification. Cette controverse de l'éther immobile et de l'éther entraîné fut reprise en 1895 par Lorentz qui, par sa transformation célèbre des équations électromagnétiques de Maxwell, montra que ies effets du premier ordre sont tous compatibles avec l'hypothèse d'un éther immobile. En 1900 Larmor compléta la théorie pour les effets du second ordre. La théorie de la fixité de l'éther était donc compatible avec tous les résultats expérimentaux et elle subsista définitivement.

D'autres expériences d'ailleurs du second ordre avaient été faites entre temps: par Rayleigh et Brace sur la double réfraction en 1902 et 1904, par Trouton et Noble sur le couple auquel devait être soumis un condensateur chargé en 1905, par Trouton et Rankine sur la conductibilité électrique en 1908. Toutes furent muettes comme l'expérience de Michelson; aucune ne parvint à déceler l'effet attendu du mouvement de la terre sur les phénomènes optiques ou électriques étudiés.

4. Contraction de Fitzgerald-Lorentz.

Une seconde explication bien moins naturelle, mais qui pouvait cependant se justifier par les recherches théoriques de Larmor et Lorentz sur la constitution de la matière, des résultats négatifs de l'expérience de Michelson et de toutes les expériences dites du second ordre, fut l'hypothèse de la contraction de Fitzgerald-Lorentz. Fitzgerald proposa d'admettre que la matière en mouvement dans l'éther subit une contraction dans le sens du mouvement, contraction annulant exactement la différence de durée des parcours longitudinal et transversal des rayons lumineux dans l'expérience de Michelson et telle, que en aucun cas une expérience matérielle ne pourra déceler un mouvement de la matière dans l'éther.

La difficulté principale de cette hypothèse est que la contraction doit être indépendante de la substance, quelle que soit la rigidité de celle-ci. En effet le plateau de l'expérience de Michelson qui portait les appareils fixant le trajet des rayons lumineux, fut choisi successivement en pierre, en métal, en bois; le résultat négatif de l'expérience se montra entièrement indépendant de la substance du plateau. Il était difficile d'admettre une contraction identique pour toutes les substances, dont la grandeur soit une propriété intrinsèque de la matière. Cette contraction unique, dépendante seulement de la dimension linéaire du corps dans le sens du mouvement dans l'éther, ne traduirait-elle pas plutôt une propriété métrique de l'espace dans lequel nous apparaît la matière?

5. Le principe de la relativité restreinte.

Ce fut la conception d'Einstein qui en 1905 trancha le noeud gordien en énonçant purement et simplement le postulat, qui depuis s'appelle le principe de la relativité restreinte,

sans crainte des conséquences étranges qu'il allait entraîner. Ce principe n'est autre que celui de la relativité des faits mécaniques que j'ai rappelé plus haut (sous 1 b), énoncé par Galilée et admis sans conteste, transporté aux faits physiques: Dans un système en mouvement rectiligne et uniforme les faits physiques se produisent exactement comme si le système était au repos. En particulier la vitesse de la lumière y est la même dans toutes les directions.

Dans l'expérience de Michelson, nous pensions que la vitesse par rapport au plateau sur lequel se produit l'expérience, de l'onde lumineuse qui nage dans le sens du courant d'éther n'est pas la même que celle de l'onde qui se propage en travers du courant. Einstein déclare a priori que nous sommes dans l'erreur. Sur ce plateau, qui est pour la durée très courte d'une expérience approximativement un système en mouvement rectiligne et uniforme, la vitesse de la lumière, c'est-à-dire l'espace parcouru dans le temps-unité, est la même dans chaque direction; c'est là la raison toute simple du résultat négatif de l'expérience. Et non seulement la vitesse de la lumière est la même dans chaque direction sur ce plateau de l'expérience de Michelson et dans tout système pareil en translation uniforme avec la terre, mais si, par exemple, nous avions fait l'expérience de Michelson sur une autre planète, Vénus ou Jupiter, non seulement nous aurions un résultat négatif comme sur terre; mais la vitesse de la lumière dans chaque direction y serait le même chiffre que sur terre, bien que la vitesse du plateau y soit respectivement plus petite ou plus grande.

Nous énoncerons le principe sous cette autre forme plus plus complète: Il est impossible dans un système clos en translation uniforme de déceler par des expériences physiques le mouvement du système. En particulier la vitesse de la lumière est pour tous les systèmes en translation uniforme les uns par rapport aux autres, une constante absolue, indépendante de la direction dans laquelle on la mesure, de la vitesse du système en translation dans lequel on opère et du mouvement aussi de la source lumineuse dans le système.

C. LES CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DE LA RELATIVITÉ RESTREINTE

Quelles sont maintenant les conséquences de ce principe de la relativité restreinte ? Elles sont étranges et brutales pour ce qui paraissait être jusqu'alors même le simple bon sens. Et pourtant une fois le principe admis, elles ne peuvent être mises en doute; elles s'en déduisent mathématiquement. Je ne puis pas vous établir cette déduction ici pour deux raisons: faute de temps et nécessité absolue de l'emploi de l'écriture et du raisonnement mathématique. Je voudrais seulement vous exposer ces conséquences dans leur forme simple et aussi concrète que possible.

1. L'espace et le temps sont relatifs.

Nous mesurons l'espace, c'est-à-dire la distance entre deux points, au moyen d'une règle divisée et le temps, c'est-à-dire la durée entre deux événements, au moyen d'une montre. Nous prenons habituellement le cm. comme unité de distance et la sec, comme unité de temps. Nous admettrons dans la suite que nos opérateurs opèrent toujours avec des règles divisées qui ont été comparées et reconnues identiques et avec des montres rigoureusement réglées les unes sur les autres. Nous admettons naturellement aussi pour mesurer les distances et les temps, toutes les méthodes optiques, électriques, etc., pratiquées aujourd'hui, plus perfectionnées, mais qui toutes sont basées quand même en dernier lieu sur l'étalon initial.

Jusqu'ici, il a toujours été admis que la distance entre deux points fixés de l'espace et la durée qui sépare deux événements fixés dans le temps était absolues, c'est-à-dire les mêmes pour tous les observateurs possibles. Le principe de

la relativité restreinte a pour conséquence que deux observateurs en mouvement rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre, ne trouveront pas le même chiffre pour mesure de la distance ou de la durée fixées, quelles que soient d'ailleurs leurs méthodes de mesure, dans les conditions énoncées ci-dessus. Une fois pour toutes, il s'agit d'écarts excessivement faibles pour les vitesses courantes entre les observateurs en translation uniforme les uns par rapport aux autres; c'est seulement pour les vitesses de translation se rapprochant de la vitesse de la lumière que l'écart devient considérable. Mais de toute évidence l'importance du fait n'en est pas moins capitale; l'espace et le temps au point de vue physique ne sont plus des entités absolues. L'écart entre deux mesures d'une même distance ou d'une même durée est fonction du mouvement des deux observateurs l'un par rapport à l'autre. L'une des mesures n'est pas plus vraie que l'autre; la distance et la durée absolues n'existent plus.

2. L'Univers, complexe de l'espace et du temps est absolu.

Ici, il ne m'est pas possible de continuer sans introduire ou rappeler quelques notions et expressions de géométrie élémentaire. Nous fixons la position d'un point dans l'espace par trois coordonnées prises relativement à un corps, que nous considérons dans ce but comme immobile par rapport au point. Un tel corps est dit un système de référence; nous idéalisons ce système en le réduisant à trois plans perpendiculaires entre eux, comme le sont dans cette salle les deux parois et le plancher qui aboutissent en un coin. Le coin, c'est-à-dire le point d'intersection des trois plans perpendiculaires, est dit l'origine du système de référence. Les trois coordonnées d'un point de l'espace par rapport à ce système sont alors les distances du point aux trois plans. Le changement de position du système de référence, nous dirons le

passage d'un système de référence à un autre, entraîne évidemment un changement des coordonnées du point. Les formules qui lient les valeurs des anciennes coordonnées aux nouvelles ou vice-versa, sont dites les formules de transformation des coordonnées.

Jusqu'ici, le fait que l'espace était absolu se traduisait géométriquement de la façon suivante: l'expression qui donne la distance de deux points fixés en fonction de leurs coordonnées et qui est la racine carrée d'une somme de trois carrés, gardait la même valeur pour tous les systèmes de références possibles, c'est-à-dire au travers de toutes les transformations de coordonnées qu'on pouvait lui faire subir.

En géométrie, nous considérons des points dans l'espace. En mécanique le temps s'ajoute à l'espace; nous y considérons des événements qui se produisent chacun en un point fixé et à un instant déterminé. Tout événement a donc quatre coordonnées, trois coordonnées d'espace et une coordonnée du temps; mais comme jusqu'ici cette coordonnée du temps était, pour un événement fixé, la même pour tous les observateurs possibles, elle ne jouait pas de rôle et n'intervenait pas dans les formules. La transformation de coordonnées qui correspond au passage d'un système de référence S à un système de référence S' en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à S, est, en opposition aux transformations de coordonnées de la géométrie dont je parlais ci-dessus, une transformation de coordonnées de la mécanique; on l'appelle d'une façon abrégée une transformation de Galilée. Comme le temps était jusqu'ici le même dans les deux systèmes S et S', l'expression de la distance entre deux points fixés gardait encore évidemment la même valeur au travers de toute transformation de Galilée.

Avec le principe de la relativité restreinte, l'espace et le temps sont relatifs. Chaque événement E a quatre coordonnées par rapport au système S et par rapport au système S' en translation uniforme par rapport à S, trois coordonnées d'espace et une coordonnée du temps; mais maintenant la

coordonnée du temps comme celle d'espace varie de S à S'. En effet pour les deux observateurs liés aux systèmes S et S', à cause de la translation de S' par rapport à S, leurs montres ne donneront pas le même chiffre pour l'instant auquel se produit l'événement E, parce qu'il y a un écart entre leurs mesures de la durée qui s'écoule entre l'instant où leurs montres coïncidaient (instant pris généralement comme origine des temps) et l'instant où se produit l'événement E.

Ainsi, dans la relativité restreinte, les quatre coordonnées x, y, z, t d'un événement E, rapporté au système complet de référence S (montre et système de référence spatial S) varient quand nous rapportons E au système complet S' en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à S. La distance spatiale et la durée qui séparent deux événements fixés ne sont pas les mêmes pour les deux observateurs liés à S et S'. Par contre un intervalle d'un nouveau genre est absolu pour tous les observateurs en mouvement rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres. Je vais me faire comprendre par analogie.

L'ensemble des points où les événements ont lieu constitue notre espace à trois dimensions qui n'est plus absolu; ce qui nous l'avait fait croire absolu, rigide comme un réservoir illimité dans lequel se placent et se meuvent les corps, c'est le fait que nous regardions la distance entre deux points quelconques comme absolue. L'ensemble des événements eux-mêmes constitue un complexe espace-temps à quatre dimensions qui lui est absolu, comme nous nous représentions jusqu'ici l'espace à trois dimensions. En effet, entre deux événements quelconques, il y a une sorte d'intervalle correspondant à notre ancienne distance entre deux points, qui est absolu, c'est-à-dire qui garde la même valeur quel que soit celui des systèmes de référence complets en translation uniforme les uns par rapport aux autres auquel on rapporte les deux événements. Ce complexe espace-temps est appelé Univers; l'intervalle en question est dit l'intervalle d'Univers. Sa grandeur est la racine carrée de l'expression suivante:

le carré du chemin effectué par la lumière pendant le temps écoulé entre les deux événements, diminué de la distance spatiale des deux événements au carré.

3. La transformation de Lorentz, conforme aux lois de l'électromagnétisme, est la seule qui doit subsister.

La théorie de la relativité restreinte n'est pas sortie bottée et casquée d'un seul cerveau, le cerveau d'Einstein. Comme d'autres théories qui ont fait progresser le savoir humain d'une étape définitive et peut-être plus qu'elles, elle est la résultante d'efforts combinés des mathématiciens et physiciens de la fin du XIXe siècle et du début du XXe siècle qui cherchaient à résoudre le problème de l'éther et du mouvement absolu. La géométrie de l'Univers à quatre dimensions, complexe de l'espace-temps dont j'ai parlé, a été faite par Minkowski, qui dans une conférence en 1908 sur l'espace et le temps s'exprimait ainsi: «A l'heure actuelle l'espace et le temps considérés en eux-mêmes doivent disparaître comme des fantômes; seule leur union possède une individualité».

Les formules qui lient dans la relativité les coordonnées x, y, z, t d'un événement E par rapport à l'observateur S (nous entendrons par là dès maintenant pour abréger le système complet de référence S, montre et système spatial de référence) aux coordonnées x', y', z', t' du même événement par rapport à l'observateur S' en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à S, étaient trouvées avant Einstein. La transformation de Galilée dont j'ai parlé et qui était le passage de l'observateur S à l'observateur S' avant la relativité, modifiait les équations de Maxwell, qui sont l'expression fondamentale des lois de l'électromagnétisme. Or ces lois de l'électromagnétisme devaient certainement être valables aussi bien, par exemple, sur une autre planète, que pour l'observateur terrestre, ou même simplement pour l'observateur terrestre à différentes époques de l'année. C'est dire que ces lois devaient

être indépendantes de l'état de translation uniforme du système dans lequel l'expérience a lieu. Donc les équations de Maxwell devaient garder leur forme dans le passage de l'observateur S à l'observateur S' en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à S.

Lorentz chercha une transformation de coordonnées de S à S' qui laisse invariantes les équations de Maxwell. Il trouva sa célèbre transformation à laquelle j'ai déjà fait allusion (voir B 3) et qui n'est autre que la transformation qui découle du principe de la relativité restreinte. Lorentz appelait temps locaux les temps qu'il dut introduire, propres à chaque observateur S et S', mais les considérait comme une fiction mathématique. Einstein vint et dit: La transformation de Lorentz est la réalité; les lois de l'électromagnétisme qui lui correspondent sont exactes; les lois actuelles de la mécanique auxquelles correspond la transformation de Galilée ne sont que des lois approximatives; leur écart des lois exactes n'a pas été aperçu jusqu'ici parce qu'il est excessivement faible pour nos vitesses courantes qui sont insignifiantes; mais seule doit subsister la transformation de Lorentz, avec ses temps locaux qui ne sont pas une fiction mathématique, mais les temps vrais des observateurs S et S'.

4. La loi de composition des vitesses est modifiée; la vitesse de la lumière est une vitesse limite qui ne peut être dépassée.

La transformation de Lorentz et donc le principe de relativité exigent une modification de la loi actuelle de composition des vitesses. Jusqu'ici, lorsqu'un observateur S se meut avec une vitesse v et un observateur S' se meut par rapport à S avec une vitesse v' de même direction et de même sens que v, la vitesse résultante de S' par rapport au système admis comme fixe, était v ±v'. Dans la relativité cette vitesse résultante est plus petite; elle est diminuée dans le rapport

de 1 à 1 +vv'/c², v et v' étant mesurée chacune dans le système de l'observateur correspondant, car, bien entendu, les vitesses comme les espaces, sont relatives. Il n'y a qu'une seule vitesse absolue, la vitesse de la lumière.

La nouvelle loi dc composition des vitesses a pour conséquence qu'un mobile par accroissements successifs de sa vitesse ne dépassera jamais la vitesse de la lumière. Si la vitesse composante d'un mouvement devient égale à la vitesse de la lumière, la vitesse résultante sera encore égale à la vitesse de la lumière. Elle explique aussi immédiatement le résultat de l'expérience de Fizeau, qui avait fait conclure au début à un entraînement partiel de l'éther par la matière en mouvement.

5. La masse et l'énergie ne sont plus que deux aspects différents d'une même entité; les deux anciens principes de la conservation de la masse et de la conservation de l'énergie ne forment plus qu'un seul et unique principe.

Ici également 1e contenu de l'énoncé que je formule ne revient pas spécialement à la relativité restreinte. En 1905 déjà, M. Daniëls, et c'est dans cette intention que j'ai repris au début ce point essentiel de son discours, exposait que l'électron n'a qu'une masse apparente de nature électromagnétique, qu'il est donc en définitive de l'énergie pure croissante avec la vitesse.

a) La masse. La matière est inerte; elle résiste à une modification dc son état de repos ou de mouvement. Pour vaincre cette résistance il faut une action extérieure, nous disons une force, qui modifie cet état de repos ou de mouvement, qui donne donc à la matière un changement de vitesse, c'est-à-dire une accélération. La masse d'un corps déterminé est le rapport constant qui existe entre la force qui agit sur ce corps

et l'accélération qu'elle lui donne; elle est donc la mesure de l'inertie du corps, nous dirons simplement le coefficient d'inertie du corps.

La masse ainsi définie est dite la masse de Newton; dans l'ancienne dynamique la masse d'une portion de matière déterminée, la force qui agit sur elle et l'accélération que cette force lui donne sont des grandeurs absolues, ayant les mêmes mesures pour tous les observateurs possibles. Dans la nouvelle dynamique, la masse, la force et l'accélération sont relatives; deux observateurs S et S' en mouvement rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre, n'auront pas pour une masse, une force et une accélération données, les mêmes chiffres de mesure.

De plus, pour un même observateur S, la masse d'une portion de matière déterminée n'est pas invariable; elle croît avec la vitesse et pour un corps en mouvement il faut envisager deux masses newtoniennes, une masse longitudinale qui intervient si la force agissante produit une accélération dans la direction de la vitesse acquise, une masse transversale si la force agissante produit une accélération dans la direction perpendiculaire à la vitesse acquise. Ces deux masses augmentent avec la vitesse de la portion dc matière considérée, mais suivant des lois différentes; elles ne sont égales que si la portion de matière est au repos.

Une seconde définition de la masse permet de la rendre indépendante de la direction de la force agissant sur la portion de matière et de n'avoir dans la dynamique nouvelle également qu'un concept de masse; c'est la masse dite de Maupertuis. Le produit F. t de la force par le temps pendant lequel elle agit est appelé l'impulsion communiquée à la portion de matière. Le rapport F.t/v de l'impulsion à la vitesse acquise par cette impulsion, est en quelque sorte la capacité d'impulsion, l'impulsion qui est nécessaire pour donner à la portion de matière la vitesse-unité. C'est cette capacité d'impulsion qui est la masse dite de Maupertuis.

Dans l'ancienne dynamique le produit m.v qui est appelé la quantité de mouvement est égal à l'impulsion F.t; il y a donc identité entre les deux masses newtonienne et maupertuisienne. Dans la dynamique de la relativité, la masse de Maupertuis se confond avec la masse newtonienne transversale, mais évidemment pas avec la masse newtonienne longitudinale qui est différente pour un corps en mouvement.

b) L'énergie. Tandis que la masse n'a qu'une forme qui se manifeste par la résistance au mouvement, l'énergie, elle, a des formes diverses qui se manifestent par le travail. L'a définition théorique du travail est le produit de la force par le déplacement de son point d'application dans la direction et le sens de la force. L'énergie est alors toute cause qui produit du travail et inversement tout ce qui résulte de la transformation d'un travail. Ces causes et ces résultats se présentent, comme je l'ai dit, sous des formes diverses, qui se transforment les unes dans les autres: l'énergie cinétique 1/2 mv² qui a été appelée par Leibnitz la force vive des corps en mouvement; l'énergie potentielle qui est de l'énergie en puissance correspondant à la position des corps ou de leurs parties constitutives, l'énergie rayonnante, dont j'ai parlé au début, qui est l'onde électromagnétique, lumineuse, calorifique ou hertzienne; l'énergie électrique qui circule dans nos fils sous forme de courant et qui est la transformation de l'énergie cinétique de nos torrents et de nos rivières, l'énergie calorifique qui correspond au mouvement des molécules de la matière, l'énergie chimique qui résulte de corps qui s'unissent ou se décomposent, etc.

c) La masse et l'énergie sont deux aspects différents de la même entité. On établit en effet, basés sur la relativité, les résultats suivants:

Toute variation d'énergie d'un système donné est accompagné d'une variation de masse du système, variation de

masse égale à la variation d'énergie divisée par le carré de la vitesse de la lumière.

Toute forme d'énergie possède une masse, une masse égale à la quantité d'énergie divisée par le carré de la vitesse de la lumière.

Toute masse représente une énergie totale qui a comme expression la masse multipliée par le carré de la vitesse de la lumière.

Il résulte de ces faits que si nous représentons par c la vitesse de la lumière, par m 0 la masse au repos d'un corps, par m sa masse pour un observateur relativement auquel il possède la vitesse v, l'énergie totale du corps par rapport à cet observateur, est donnée par ce que l'on appelle une série infinie:

Le second terme et les suivants (en nombre infini) représentent l'énergie cinétique due à la vitesse v, relativement à l'observateur en question. Cette énergie croît indéfiniment lorsque la vitesse v tend vers la vitesse de la lumière. Pour les faibles vitesses que nous réalisons, elle se réduit pratiquement au second terme, 1/2 m 0 v², qui est l'ancienne expression de la force vive.

Le premier terme m 0 c2 est l'énergie que renferme la matière au repos; c'est la somme des énergies cinétiques et potentielles des particules électrisées qui composent la matière. Cette énergie interne est énorme; un seul gramme de matière correspond à la présence d'une énergie de 9. 10 20 ergs, qui permettrait de monter trente millions de tonnes au sommet de la tour Eiffel.

Presque toute cette énergie interne appartient aux noyaux atomiques, qui sont des inondes insensibles à la plupart des actions que nous pouvons produire. Une très faible partie de l'énergie des noyaux est libérée spontanément dans

les transformations radio-actives. Une portion d'énergie beaucoup plus petite encore, provenant non plus des noyaux des atomes, mais des électrons qui gravitent autour de ces noyaux est dégagée dans l'énergie rayonnante ou mise en jeu dans les réactions chimiques.

d) Les deux principes, conservation de la masse et conservation de l'énergie, n'en font qu'un.

«Rien ne se perd, rien ne se crée» a dit le chimiste Lavoisier. C'est le principe de conservation de la matière ou de conservation de la masse, car l'ancienne masse, mesure de l'inertie du corps, est proportionnelle à la quantité de matière. D'autre part, l'équivalent mécanique de la chaleur, ou loi de Joule, est un exemple de la conservation de l'énergie. Cet exemple se reproduit dans tous les passages d'une forme de l'énergie à une autre et chaque fois qu'un travail est produit. L'énoncé exact du principe de la conservation de l'énergie était jusqu'ici le suivant: l'énergie totale d'un système matériel isolé qui n'échange aucune énergie avec l'extérieur reste constante au cours des transformations que subit le système. Aujourd'hui les deux principes n'en font qu'un puisqu'il y a identité entre la matière et l'énergie et il s'énonce: dans un système matériel clos, qui n'échange aucune matière, ni aucune énergie avec l'extérieur, pour tous les observateurs en repos les uns par rapport aux autres, la masse totale du système, ou bien son énergie totale dont la mesure est la mesure de la masse multipliée par le carré de la vitesse de la lumière, restent constantes.

6. Unification de trois principes: conservation de la masse, de l'énergie et de la quantité de mouvement. Conservation de l'impulsion d'Univers.

Dans notre espace ordinaire, le chemin rectiligne d'un point A fixé vers un point B fixé, est une grandeur qui implique trois éléments: une longueur, une direction et un sens. Cette grandeur ainsi représentée par le segment de droite AB,

orienté et de sens fixé, de A vers B, est dite une grandeur vectorielle. Le segment AB lui-même est dit un vecteur. Un chemin rectiligne, une vitesse, une accélération, une force, etc., sont des grandeurs vectorielles, représentées géométriquement par des vecteurs. Les trois projections d'un vecteur sur les axes de coordonnées sont dites les composantes du vecteur; elles peuvent être considérées elles-mêmes comme des vecteurs dont la somme géométrique est le vecteur primitif. Les grandeurs ordinaires comme une longueur, une masse, un travail, un temps, etc., sont dites par opposition aux grandeurs vectorielles, des grandeurs scalaires.

Le produit d'une grandeur vectorielle par une grandeur scalaire, reste évidemment une grandeur vectorielle. La quantité de mouvement d'une portion de matière, qui est la vitesse multipliée par la masse, l'impulsion d'une force qui est la force multipliée par le temps pendant lequel elle agit, sont des grandeurs vectorielles.

Dans la mécanique classique, à côté des deux principes de conservation de la masse et de l'énergie, il y a un troisième principe de conservation, celui de la conservation de la quantité de mouvement ou de l'impulsion des forces, puisqu'il y a égalité entre la quantité de mouvement reçue par une portion de matière et l'impulsion communiquée par la force qui agit sur elle. Le principe dit: Dans un système clos, le vecteur qui est la somme géométrique des quantités de mouvement (ou des impulsions communiquées par les forces) de chaque portion de matière du système, reste invariable, quels que soient les échanges de mouvements qui se produisent dans le système; plus simplement dit: la quantité totale de mouvement dans le système reste constante.

Dans l'Univers, complexe de l'espace-temps à quatre dimensions dont j'ai parlé et qui est l'ensemble de tous les événements (j'allais dire: présents, passés et futurs, mais ces mots n'ont plus de sens; ils avaient un sens quand le temps était absolu; mais dans la relativité un événement A antérieur à B pour un certain observateur, peut être postérieur à B

pour un autre observateur; je devrais dire: présents, passés et futurs pour un observateur déterminé), dans cet Univers, dis-je, que nous appellerons l'Univers de Minkowski, et qui est absolu comme nous nous représentions jusqu'ici notre espace ordinaire, l'intervalle d'Univers que nous avons défini entre deux événements A et B joue le même rôle que la droite AB entre les points A et B de l'espace ordinaire. L'intervalle entre les événements A et B peut donc être considéré comme un quadrivecteur d'Univers à quatre composantes, trois composantes d'espace dont la somme géométrique est la distance spatiale des deux événements et une composante de temps qui est la durée entre les deux événements multipliée par la vitesse de la lumière.

Considérons maintenant dans cet Univers de Minkowski une portion de matière déterminée. L'ensemble des événements dans l'espace et le temps par lesquels passe cette portion de matière constitue sa trajectoire d'Univers, on dit sa ligne d'Univers, comme les positions successives qu'elle occupe dans l'espace ordinaire constituent sa trajectoire spatiale. On a pour cette portion de matière min quadrivecteur de mouvement ou vitesse généralisée, tangente à sa ligne d'Univers comme la vitesse d'un mobile ordinaire est tangente à sa trajectoire, un quadrivecteur-accélération orthogonal à la vitesse, un quadrivecteur-force ou force généralisée de Minkowski et enfin un quadrivecteur-impulsion d'Univers, qui a pour ses trois composantes d'espace les composantes ordinaires de la quantité de mouvement et pour sa composante de temps, la masse de la portion de matière multipliée par c (vitesse de la lumière) ou bien son énergie totale divisée par c.

Dans la relativité, comme nous l'avons dit, la masse ou l'énergie et la quantité totale de mouvement dans un système clos se conservent pour un observateur déterminé; mais ces grandeurs sont relatives et changent d'un observateur O à un observateur O' en translation uniforme par rapport à O. Par contre, le quadrivecteur-impulsion d'Univers V pour

le système total clos S, qui est la somme géométrique des impulsions pour chacune des portions de matière qui constituent S est absolu. Ses composantes, qui sont les composantes de la quantité totale de mouvement de S et l'énergie totale de S divisée par c, changent par la transformation de Lorentz qui fait le passage de l'observateur O à l'observateur O', comme les composantes d'un vecteur dans l'espace ordinaire changent par une transformation ordinaire de coordonnées. Mais le quadrivecteur V lui-même est indépendant de la transformation de Lorentz, c'est-à-dire du passage de l'observateur O à l'observateur O', comme un vecteur dans l'espace ordinaire est absolu et indépendant de chaque transformation de coordonnées.

On a donc dans ce quadrivecteur-impulsion d'Univers totale pour le système clos S, quadrivecteur qui englobe dans ses composantes la quantité de mouvement et l'énergie du système, réunis en un seul, les trois anciens principes de conservation et sous forme absolue: le quadrivecteur-impulsion d'Univers pour un système matériel isolé reste invariable quels que soient les échanges qui se produisent dans le système et pour tous les observateurs possibles.

D. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET LA GRAVITATION

Nous avons dit que les conceptions et les résultats de la relativité restreinte n'étaient pas l'oeuvre d'un seul cerveau. Einstein a effectivement, et c'est intentionnellement que j 'ai choisi au début cette comparaison, parce qu'elle exprime exactement ce qui s'est produit, tranché de son épée le noeud gordien posé par la recherche du mouvement absolu, en trouvant la solution simple, celle qui ne pouvait être plus simple puisqu'elle prenait pour la réalité, les faits tels qu'ils se présentaient. Par contre, l'étape franchie de 1905 à 1911-1915,

de la relativité restreinte à la relativité généralisée, revient entièrement à Einstein. Elle correspond exactement, au point de vue différence de conceptions entre les deux relativités, à l'étape franchie au début des civilisations, lorsque l'homme, croyant primitivement que la terre était plate et illimitée, s'est aperçu qu'elle est sphérique et finie. Vous vous en rendrez compte facilement par l'exposé que j'ai encore à vous faire.

1. Equivalence entre le champ de force d'inertie et le champ de force de la pesanteur.

La théorie de la relativité restreinte est en effet singulièrement restreinte par le concept qui est à sa base, exigeant la translation rectiligne 3 et uniforme des systèmes de référence dans lesquels elle s'applique. Or, nous l'avons dit au début, tout mouvement est relatif; il n'existe aucun critère qui permette de décider si 1111 système envisagé isolément est ou non en translation rectiligne et uniforme. D'ailleurs le principe lui-même de la relativité restreinte nie précisément la possibilité d'existence d'un tel critère. Nous pouvons simplement décider quand deux systèmes de référence sont en translation uniforme l'un par rapport à l'autre.

Par contre, dès que le mouvement d'un système matériel b'est plus rectiligne et uniforme, dès qu'il y a donc un changement de vitesse en grandeur ou en direction, c'est-à-dire une accélération, apparaît ce que nous appelons un champ de force d'inertie. J'en donnerai quelques exemples. Sur le char à bancs de nos ancêtres, le coup de fouet au cheval précipitait en arrière le voyageur inattentif. Dans l'autocar moderne les participants à une course sont jetés en avant par un coup de

frein trop brusque. Dans la fronde que l'enfant fait tourner la ficelle qui retient la pierre est tendue par la force centrifuge. C'est aussi la force centrifuge qui tend à projeter hors du contour l'automobiliste imprudent sur la route mouillée, qui maintient le motocycliste du champ de foire sur les parois verticales de sa cage cylindrique, etc.

Il est assez singulier que l'on ait désigné d'un non! particulier la force d'inertie dans le cas de la rotation, correspondant à un changement de vitesse en direction et qu'on ne l'ait pas fait dans le cas des deux premiers exemples, correspondant à un changement de vitesse en grandeur. Dans les cinq exemples donnés, la force qui apparaît est de même nature; c'est la force d'inertie de la matière qui apparaît en elle, dès qu'on la met par une action extérieure dans la situation de modifier sa vitesse, en grandeur ou en direction, et qui s'oppose à la force accélératrice qu'on lui applique. En chaque point de la matière en mouvement accéléré, apparaît ainsi une force d'inertie; l'ensemble de ces forces est un champ de force d'inertie.

Dans le voisinage de toute portion de matière apparaît un autre champ de force, le champ de force de la pesanteur ou de la gravitation. La masse terrestre, par exemple, crée autour d'elle le champ de la pesanteur terrestre qui fait tomber la pomme de Newton vers le sol et auquel est soumise toute matière dans le voisinage de la terre. Newton a donné jusqu'ici la loi de cette force dite d'attraction ou de gravitation; elle est proportionnelle aux deux masses en présence et inversement proportionnelle au carré de leur distance. Il est évident d'ailleurs que les deux masses s'attirent mutuellement avec la même force; si c'est la pomme qui tombe vers la terre et non le contraire, cela tient uniquement au fait que l'inertie de la masse terrestre est infiniment plus grande que celle de la pomme.

Or, il y a une propriété remarquable du champ de la pesanteur ou de la gravitation, que la mécanique connaît depuis longtemps, qui intervient déjà dans l'expression de la force

donnée ci-dessus, mais à laquelle personne avant Einstein n'avait donné sa vraie signification. C'est la propriété suivante: dans un champ de pesanteur ou de gravitation, tous les corps placés aux mêmes distances tombent avec la même vitesse. C'est exactement la même propriété que celle du champ de force d'inertie dans chaque cas où la force d'inertie peut agir; sur le char à bancs ou dans l'autocar des exemples ci-dessus, au coup de fouet ou au coup de frein, grands et petits, voyageurs de cent kg. et minces jeunes filles à la ligne moderne seront précipités eu arrière ou projetés en avant avec les mêmes vitesses.

Einstein a donné un exemple, que l'on trouve dans tous les traités de relativité, qui montre bien l'équivalence entre les deux champs de force, d'inertie et de gravitation. Supposons une région de l'espace si loin de toute matière qu'il n'y ait plus de champ de gravitation et dans cette région, une chambre isolée à l'intérieur de laquelle se trouve un observateur. Supposons que par un cable fixé au milieu du plafond à l'extérieur, un être extérieur se mette à tirer avec une force cous tante. Pour un observateur extérieur, la chambre va prendre un mouvement uniformément accéléré. Si la chambre est vitrée, il verra l'observateur à l'intérieur et les objets primitivement libres dans la chambre précipités sur le plancher. Il attribuera ces chûtes au champ de force d'inertie qui provient pour lui de l'accélération de la chambre. Mais l'avis de l'observateur intérieur est autre. Si les parois de la chambre sont opaques et qu'il ne voit rien de l'extérieur, il juge qu'il est dans un champ de gravitation, puisque tous les objets qui l'entourent et lui-même sont tombés avec la même vitesse. Si les parois sont vitrées et qu'il voit l'observateur extérieur et le câble tendu, son jugement ne change en rien; il est suspendu au repos dans un champ de gravitation et c'est pour lui l'autre observateur qui tombe en mouvement accéléré, sous l'effet du champ.

L'un des observateurs a-t-il plus raison que l'autre? Non. Ils ont tous deux également raison. En tout point de l'espace,

il est impossible de se prononcer entre les deux alternatives suivantes: il existe un état de mouvement accéléré et donc un champ d'inertie et pas de champ de gravitation; ou bien, le système est au repos et c'est un champ de gravitation et non pas un champ d'inertie. Il y a donc équivalence complète, selon l'expression d'Einstein, entre un champ de force dû à une accélération et un champ de gravitation. Einstein appelle champ de gravitation tout champ de force qui est dû à une accélération du système de référence ou au voisinage de masses matérielles.

2. Le principe de la relativité généralisée sous sa forme mécanique.

Nous vouions maintenant préciser les résultats acquis et énoncer ensuite pour le moment sous sa forme plus concrète le principe qui a guidé Einstein. Dès maintenant nous entendons donc avec Einstein par champ de gravitation, le champ d'inertie et le champ de pesanteur; nous faisons abstraction ici du champ électromagnétique que Einstein et Weyl ont incorporé plus tard à la relativité et dont l'étude formerait pour être complet une troisième partie de cet exposé, le champ unitaire.

Dans un système de référence où il n'y a pas de champ de gravitation, règne la loi d'inertie de Galilée: tout corps y est au repos ou en mouvement rectiligne et uniforme. Un tel système de référence, que nous appellerons pour abréger galiléen, est donc au repos ou en translation rectiligne et uniforme. Par contre tout système de référence, dans lequel règne un champ de gravitation, peut être envisagé comme un système accéléré. Si c'est un champ d'inertie qui y règne, c'est-à-dire un champ passager, le système est effectivement accéléré; si c'est un champ de pesanteur, c'est-à-dire un champ permanent, le champ est équivalent à la présence d'un système accéléré. La structure du champ est d'ailleurs

différente dans les deux cas et dans le cas du champ d'inertie, elle est différente aussi selon que le système est en rotation ou accéléré dans la direction du mouvement primitif ou dans un état d'accélération intermédiaire. La cinématique établit que les trois seules possibilités pour le mouvement d'un corps sont la rotation, la translation et les mouvements composés de ces deux mouvements principaux, rotation et translation.

C'est maintenant pour les système galiléens et pour eux seuls, que sont valables le principe et les résultats de la relativité restreinte. Tous les observateurs attachés à un même système galiléen obtiennent pour une distance spatiale et une durée fixées les mêmes chiffres de mesure. Chaque système galiléen a donc son espace propre et son temps propre. A l'ensemble dc tous les systèmes galiléens possibles correspond l'Univers de Minkowski qui est le complexe espace-temps absolu à quatre dimensions, et la transformation de coordonnées d'espace et de temps dans cet Univers est la transformation de Lorentz qui exprime précisément le passage d'un système galiléen à un autre système galiléen. Les coordonnées elles-mêmes x, y, z, t de chaque événement dans cet Univers de Minkowski sont dites galiléennes; elles correspondent aux coordonnées ordinaires rectangulaires dans l'espace ordinaire. Enfin, de même que nous appelons le plan comme surface à deux dimensions et l'espace ordinaire à trois dimensions euclidiens parce que leur géométrie est celle d'Euclide, nous disons que l'Univers de Minkowski est euclidien, parce que sa géométrie est encore, à une réserve près sur laquelle je ne puis pas m'étendre ici, la même que celle de l'espace ordinaire.

Quel est maintenant en définitive le sens du principe de la relativité restreinte? Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les systèmes galiléens; autrement dit tous les systèmes galiléens sont équivalents pour y rapporter l'expression ou la formulation des lois de la physique, ou encore, les équations qui expriment les lois de la physique ont la même forme dans tous les systèmes galiléens.

L'idée d'Einstein fut alors celle-ci: pourquoi n'en serait-il pas de même des systèmes accélérés, c'est-à-dire des systèmes qui impliquent un champ de gravitation? Evidemment on va se heurter de nouveau au simple bon sens. Le voyageur de l'autocar que le coup de frein trop brusque jette en avant n'admet pas que les lois physiques sont les mêmes, sur son siège à ce moment-là et lorsqu'il roulait auparavant, uniformément sur la route toute droite et sans obstacles, ou que l'expression de ces lois rapportées aux deux systèmes soit la même.

Le génie d'Einstein fut de nouveau de chercher la solution simple, en dépit des obstacles et des faits qui paraissaient acquis. En cherchant cette solution, il découvrit l'équivalence entre le système accéléré et le champ de gravitation. Dès lors il n'y a qu'à faire intervenir les grandeurs caractéristiques de ce champ dans l'expression des lois physiques, et le principe de la relativité dite généralisée (par opposition à la relativité dite restreinte) sera: Tous les systèmes de référence, galiléens ou accélérés, sont équivalents pour formuler les lois physiques; autrement dit les équations qui expriment ces lois doivent pouvoir être écrites sous une forme telle qu'elle soit valable pour un champ de gravitation quelconque, c'est-à-dire pour tout système de référence possible. On exprime plus simplement le principe en disant que les lois physiques doivent être covariantes vis-à-vis de transformations de coordonnées arbitraires.

La difficulté sera maintenant de trouver les grandeurs caractéristiques du champ de gravitation au moyen desquelles ces lois seront covariantes vis-à-vis de toute transformation de coordonnées. Pour cela nous devons revenir au domaine géométrique; mais avant nous devons faire encore une constatation qui complique singulièrement la voie que nous suivons.

3. L'Univers réel, espace-temps à quatre dimensions n'est pas l'Univers de Minkowski que nous a fourni la relativité restreinte.

Soit un système galiléen S et dans ce système S un système en rotation S', par exemple un disque plan en rotation autour d'un axe perpendiculaire à son plan et passant par le centre du disque. Il est impossible de définir un espace et un temps valables pour le disque tout entier.

En effet deux observateurs, placés sur le disque à des distances différentes du centre, ont constamment deux vitesses de même direction, mais pas de même grandeur. A chaque instant, pour une durée très courte, ils peuvent donc être considérés comme en mouvement rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre, le plus éloigné du centre par rapport au plus rapproché. Ils mesurent donc un même espace et une même durée de façons différentes; autrement dit chacun a son espace propre et son temps propre, qui sont fonctions de sa distance au centre.

Pour un système accéléré, c'est-à-dire dans un champ de gravitation, il n'est donc pas possible de définir des coordonnées galiléennes, d'espace et de temps, comme nous avons pu le faire dans un système galiléen qui a son espace et son temps propres, valables dans tout le système. D'autre part un champ de gravitation quelconque, quelle que soit sa structure, ne peut être annulé que localement par un système accéléré. Ainsi le boulet de Jules Verne, tombant en chûte libre sur la surface d'une planète, supprime le champ de gravitation de la planète pour l'observateur qui est à l'intérieur, mais dans le boulet seulement. Pour ce même observateur, par exemple, du fait de son propre mouvement qu'il n'observe pas, le champ de la planète sera doublé aux antipodes.

La raison de ces faits est que l'Univers réel, espace-temps à quatre dimensions, n'est pas l'Univers euclidien de Minkowski que nous a fait trouver la relativité restreinte. Localement

je peux trouver un système galiléen (et donc une infinité d'autres: tous les systèmes en translation uniforme par rapport à lui) qui annule un champ de gravitation donné; autrement dit localement j'ai un Univers euclidien de Minkowski tangent à l'Univers réel, comme le plan euclidien est tangent à une surface courbe qui n'est pas euclidienne. D'une façon plus concrète, exactement comme la surface terrestre à deux dimensions est une surface courbe non euclidienne en tant que surface, pour laquelle je puis prendre dans le voisinage d'un point le plan euclidien tangent (l'homme l'a si bien pris au début qu'il a commencé par croire que la terre était plate), de même l'Univers réel à quatre dimensions, ensemble des événements dans l'espace-temps, est courbe dans le voisinage et en présence de la matière; mais dans le voisinage de chaque événement, je puis prendre l'Univers euclidien tangent comme représentation approximative de l'Univers réel.

Naturellement, la comparaison que je fais doit être prise mutatis mutandis. On voit ce qu'est la courbure d'une surface dans l'espace ordinaire à trois dimensions et comment un plan est tangent à cette surface. Par contre, pour nos sens qui perçoivent uniquement trois dimensions, il est impossible de se représenter comment un complexe à quatre dimensions, l'Univers réel, est courbe dans un complexe analogue à cinq dimensions, et comment en chaque événement de cet Univers réel on peut construire un Univers euclidien tangent, tout comme pour des êtres ne percevant que deux dimensions et vivant sur un plan illimité, il serait impossible de se représenter une surface sphérique comme celle de la terre dans un espace à trois dimensions.

4. L'élément géométrique caractéristique d'une surface; la courbure totale d'une surface.

Nous allons d'ailleurs entrer plus avant dans l'étude géométrique d'une surface courbe à deux dimensions et par analogie dans celle de l'Univers réel à quatre dimensions. Soit une surface courbe qui n'est pas applicable sur un plan, comme la surface d'une sphère par exemple. Pour des êtres à deux dimensions qui vivraient sur cette surface sans pouvoir la quitter, la géométrie de la surface ne serait pas celle d'Euclide; le plus court chemin d'un point à un autre est un arc de grand cercle et non pas une ligne droite, dont ces êtres n'auront d'ailleurs probablement pas la notion. Nous allons chercher l'élément géométrique qui caractérise une telle surface en chacun de ses points et la différencie, par exemple du plan, pour lequel cet élément géométrique prendra une forme particulièrement simple.

a) Le plan. Conformément à ce qui a été dit auparavant pour le cas de l'espace (C, 2), nous fixons la position d'un point dans le plan au moyen de deux coordonnées, qui sont les distances du point à deux droites perpendiculaires entre elles dites les axes de coordonnées. Cette façon de faire peut aussi s'exprimer autrement. Elle revient à quadriller le plan, comme il l'est sur une feuille de papier quadrillé ordinaire, par deux ensembles de droites parallèles dans chaque ensemble, les droites d'un ensemble étant perpendiculaires à celles de l'autre. Ces deux ensembles de droites constituent un réseau de coordonnées cartésiennes rectangulaires. Le point du plan est ainsi localisé par la maille du réseau, carrée ou rectangulaire, dans laquelle il se trouve, ou bien déterminé exactement par les nombres correspondants aux deux droites, une dans chaque ensemble, qui passent par ce point. Le procédé peut alors se généraliser; les deux ensembles de droites perpendiculaires l'un à l'autre peuvent être remplacés par deux ensembles fixés de courbes quelconques, parallèles ou non. Les

figures suivantes se rapportent, la première au cas des coordonnées rectangulaires, la seconde au cas des coordonnées polaires, la troisième au cas des coordonnées obliques:

Le cas général serait celui de la figure 4 où le réseau est constitué par deux familles quelconques données de courbes, parallèles entre elles ou non dans l. même famille (fig. 2), les courbes d'une famille étant perpendiculaires ou non à celles

de l'autre (fig. 3). L'exigence essentielle est simplement que chaque courbe d'une famille rencontre une fois chaque courbe de l'autre famille ou, ce qui revient au même, que par chaque point du plan il passe une et une seule courbe de chaque famille.

L'élément géométrique qui caractérise le système de coordonnées employé est alors la diagonale de la maille infiniment petite du réseau, autrement dit la distance du point général P de coordonnées x 1, x 2 au point infiniment voisin P' de coordonnées x 1 +dx 1, x 2 + dx 2, dx 1 et dx 2 étant deux accroissements infiniment petits, d'ailleurs quelconques, de x 1 et x 2. Cette distance est généralement notée par ds et on a dans les trois premiers cas 4: pour les coordonnées rectangulaires ds 2 =dx 1 2 +dx 2 2 » » » polaires ds 2 = dx 1 2 + x 1 2 dx 2 2 » » » obliques ds 2 =dx 1 2 —2 cos dx 1 dx 2 +dx 2 2. Dans le cas général de la fig. 4 on a: ds 2 = g 11 dx 1 2 + g 12 dx 1 dx 2 +g 21 dx 2 dx 1 + g 22 dx 2 2 les quatre g μν étant les coefficients qui caractérisent les courbes du réseau, c'est-à-dire le système de coordonnées employé. On a toujours g 12 = g 21 et la formule prend la forme plus simple: ds 2 = g 11 dx 1 2 +2g 12 dx 1 dx 2 + g 22 dx 2 2 (1)

b) La surface courbe. Revenons maintenant à une surface courbe comme celle de la sphère par exemple. Comme nous venons de le faire sur le plan, on peut de même repérer les

points sur cette surface par un réseau de deux familles de courbes, tracées sur la surface. Par exemple sur la sphère, les méridiens et les parallèles forment un tel réseau; les coordonnées correspondantes sont dites la longitude et la latitude du point. Gauss a montré, et on le montre facilement après lui, que la formule qui donne la diagonale de la maille infiniment petite du réseau, maille qui n'est plus plane, est encore de la forme (1). Par exemple pour le réseau des méridiens et parallèles, elle est, x 1 étant la latitude et x 2 la longitude du point P: ds 2 = dx 1 2 + (cos x 1 )2 dx 2 2.

On voit donc que la forme quadratique (1) et donc en définitive ses coefficients g μν, caractérisent non seulement la surface sur laquelle ils fournissent la distance de deux points infiniment voisins, mais encore le système de coordonnées employé sur cette surface. Seules les surfaces sur lesquelles on peut tracer un réseau pour lequel on a la première forme du ds 2 ci-dessus: ds 2 =dx 1 2 +dx 2 2, c'est-à-dire, g 11 = g 22 = 1, g 12 = O sont dites euclidiennes; ce sont uniquement le plan et les surfaces que l'on peut former avec un plan que l'on déforme, le cylindre, le cône, etc.

Il est alors presque évident que sur une même surface, il y a une liaison entre les différents systèmes de coordonnées possibles, autrement dit entre les g μν des différentes formes (1) correspondantes à ces systèmes. On établit en effet que tous les systèmes des g μν possibles sur une même surface satisfont à une même équation différentielle. Cette équation différentielle caractérise la surface, comme chaque système des valeurs g μν qui satisfait l'équation, caractérise le système de coordonnées employé sur cette surface.

Nous avons ainsi obtenu l'élément géométrique cherché caractéristique de la surface; cet élément est la distance ds, sur la surface, du point général P au point infiniment voisin

P'. Si P et P' sont fixés, cette distance est un invariant 5; l'expression de ce ds a la même valeur pour tous les systèmes de coordonnées possibles sur la surface. Les g μν en un même point P changent avec le système de coordonnées employé; pour le même système de coordonnées, ils changent d'un point à un autre sur la surface, puisqu'ils sont (en général) fonctions des coordonnées du point. Si enfin la nature de la surface n'est pas comme celle du plan ou de la sphère qui sont identiques à elles-mêmes en chacune de leurs parties, mais change avec le point, le ds, les g μν et les réseaux possibles de coordonnées dans le voisinage du point, changent avec la partie de la surface sur laquelle on se trouve.

c) La courbure totale d'une surface. Cette individualité de la surface en chacun de ses points, se caractérise aussi par une autre notion mathématique qui découle des g μν et de ce que l'on appelle leurs dérivées premières et secondes et dont la valeur numérique, comme celle du ds, est indépendante du réseau de coordonnées employé. Cette notion est celle de la courbure totale R 1 et R 2 étant les deux rayons de courbure qu'on appelle principaux. Sa valeur dépend uniquement de la position du point et de son voisinage immédiat sur la surface.

Pour le plan, R 1 et R 2 sont infinis et la courbure totale est nulle en chaque point. Pour le cylindre, le rayon de courbure qui correspond aux génératrices est infini et on a encore R = O en chaque point. Si R = O en chaque point, la surface est euclidienne. Pour R constant et négatif, on a les lois de la géométrie de Lobatschefski; pour R constant et positif, on a la sphère et les lois de la géométrie de Riemann; ces surfaces ne sont pas euclidiennes.

5. Pourquoi l'espace ordinaire et l'Univers de Minkowski sont dits euclidiens.

Avec les notions mathématiques plus précises qu'il nous a été nécessaire d'introduire ci-dessus, pour donner au principe de la relativité généralisée son expression mathématique exacte, et formuler au moins dans une certaine mesure la nouvelle loi de gravitation, nous pouvons d'abord justifier maintenant d'une façon plus précise les termes de euclidiens appliqués plus haut (D, 2) à l'espace ordinaire à trois dimensions et à l'Univers de Minkowski à quatre dimensions.

De même que nous avons localisé le point sur une surface, espace à deux dimensions, par un réseau de deux familles de courbes, espaces à une dimension, se coupant comme il a été dit, nous localisons le point dans l'espace à trois dimensions par un réseau de trois familles de surfaces. En chaque point de l'espace passe une surface et une seule de chaque famille et les trois nombres correspondants à ces surfaces sont les coordonnées du point. De même encore, nous localisons l'événement dans l'Univers, espace-temps à quatre dimensions, par un réseau de quatre familles d'espaces à trois dimensions, telles qu'il passe par chaque événement un et un seul espace de chaque famille.

Dans l'espace ordinaire la distance de deux points au carré peut être représenté par une somme de trois carrés; c'est parce que nous pouvons ainsi découper cet espace en mailles rectangulaires dont la diagonale ds est au carré: ds 2 = dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2 que nous disons que cet espace est euclidien.

Dans l'Univers de Minkowski, l'intervalle entre deux événements au carré peut aussi être représenté par une somme

de quatre carrés, dont l'un de prime abord est négatif6: ds 2 = dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2 - c 2 dt 2, dx 1, dx 2, dx 3 et dt étant respectivement les différences des coordonnées d'espace et de temps des événements fixés infiniment rapprochés. C'est dans ce fait que le dernier terme est négatif que se trouve la réserve faite au chiffre (D, 2); on pose c dt = i dx 4 où i est l'unité imaginaire et l'expression devient: ds 2 = dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2 + dx 4 2

C'est parce qu'on peut trouver dans l'Univers de Minkowski un système de coordonnées, celui des coordonnées galiléennes d'espace et de temps, pour lequel le ds 2 a la forme ci-dessus (en prenant le temps imaginaire) que l'Univers de Minkowski est dit euclidien.

6. Le principe de la relativité généralisée sous sa forme géométrique.

L'énoncé du principe de la relativité généralisée va maintenant prendre une forme qui est bien près d'être évidente.

a ) Nouvelle constatation quel'Univers réel n'est pas euclidien.

L'Univers réel, complexe de tous les événements dans l'espace et le temps, n'est pas celui de Minkowski. Pour en être certain, nous ferons encore la constatation suivante. Si l'Univers réel était celui de Minkowski, celui par exemple qui existe pour l'observateur à l'intérieur du boulet de Jules Verne tombant en chûte libre sur une planète, un mobile libre, qui ne reçoit donc aucun choc, serait ou en repos ou en mouvement rectiligne et uniforme.

En effet, pour l'observateur à l'intérieur du boulet, qui ne voit rien de l'extérieur, tout mobile libre dans le boulet, puisqu'il n'y a aucun champ de force, est au repos ou en

mouvement rectiligne et uniforme. Or, ce n'est pas ce qui se produit dans la nature; les planètes sont des mobiles libres qui pour nous ne reçoivent aucun choc et leurs trajectoires ne sont pourtant pas rectilignes; c'est donc que nous ne sommes pas vis-à-vis d'elles et avec elles à l'intérieur d'un boulet de Jules Verne.

Autrement dit, je répète encore une fois la constatation faite plus haut, parce qu'elle est fondamentale: nous pouvons localement par un changement de système de référence nous créer un Univers de Minkowski euclidien à la place de l'Univers réel, comme nous pouvons considérer localement comme plane une portion de surface courbe suffisamment petite. Mais l'Univers réel, dans son entier, n'est pas euclidien. Il est courbe, en entendant par là pour un espace à quatre dimensions ce qui est analogue à la courbure d'une surface à deux dimensions qui n'est pas euclidienne, et cela en présence et dans le voisinage de la matière ou de l'énergie. Par contre suffisamment loin de toute matière ou énergie, là où les champs de gravitation des masses matérielles et du rayonnement tendent à s'annuler, l'espace-temps doit tendre à devenir plan, c'est-à-dire euclidien.

b) Enoncé du principe. Et maintenant le principe de la relativité généralisée formulée géométriquement n'est autre que celui-ci. Exactement comme les lois de la géométrie d'une surface sont indépendantes du système de coordonnées ou réseau à maille bidimensionnelle, utilisé sur la surface pour les décrire, de même les lois de la physique de l'Univers réel doivent être indépendantes du système de coordonnées ou réseau à maille quadridimensionnelle, utilisé dans le complexe espace-temps pour les décrire. Ou bien encore autrement exprimé: De même que tous les systèmes de coordonnées sur une surface sont équivalents pour formuler les lois de la géométrie de cette surface, de même tous les systèmes de référence possibles dans l'Univers réel sont équivalents pour y rapporter l'expression de ses lois physiques et naturelles.

c) Reprise de l'énoncé. Le principe de la relativité restreinte

disait que tous les systèmes galiléens sont équivalents pour y rapporter l'expression des lois physiques (D, 2). Transposé à la surface à deux dimensions au lieu de l'espacetemps de Minkowski à quatre dimensions, géométriquement cet énoncé correspond à dire que pour le plan tous les systèmes de coordonnées rectangulaires sont équivalents pour y rapporter l'expression des lois de la géométrie du plan. On voit ainsi nettement le chemin parcouru de l'une des relativités à l'autre et le caractère d'évidence pie prend la relativité généralisée vis-à-vis de la relativité restreinte, si l'on se réfère à ce qui a lieu pour la géométrie des surfaces:

Non seulement tous les systèmes de coordonnées galiléennes sont équivalents dans l'Univers de Minkowski pour formuler les lois des événements, dans la mesure où nous pouvons remplacer localement l'Univers réel par l'espace-temps de Minkowski tangent; mais tous les réseaux de coordonnées à maille quadridimensionnelle arbitraire (on dit simplement: tous les systèmes de Gauss généralisés), localement dans l'Univers de Minkowski et sans restriction dans l'Univers réel, sont équivalents pour formuler les lois des événements.

d) Troisième forme de l'énoncé. Il y a d'ailleurs une autre façon très courte de rendre également évidente la vérité du principe de la relativité généralisée. Tous les événements physiques qui se produisent reviennent en définitive aux rencontres des lignes d'Univers de toutes les portions de matière ou d'énergie. Les lignes d'Univers sont absolues; leurs rencontres s'expriment par des valeurs communes des coordonnées, quel que soit le choix de ces coordonnées. Ce n'est pas le fait que l'intersection de deux lignes d'Univers ait telles coordonnées qui importe pour la loi de l'événement qui résulte de cette intersection; c'est le fait simplement que en cette intersection, les coordonnées de deux événements qui coïncident, ont des valeurs égales. Tous les systèmes de mailles sont donc équivalents pour repérer les intersections des lignes d'Univers, et donc pour décrire les lois des événements physiques et naturels.

7. La nouvelle loi de la gravitation.

Il y a donc équivalence complète entre le champ de gravitation au sens généralisé d'Einstein et le système de référence accéléré qui crée ou qui annule ce champ; autrement dit la force est purement relative. D'autre part à l'ensemble de tous les systèmes de référence galiléens et accélérés correspond pour les premiers, l'ensemble de tous les systèmes de coordonnées galiléennes, c'est-à-dire de tous les réseaux à maille quadridimensionnelle rectangulaire dans l'Univers de Minkowski, et pour les seconds, l'ensemble de tous les systèmes de coordonnées de Gauss généralisées, c'est-à-dire de tous les réseaux à maille quadridimensionnelle arbitraire dans l'Univers réel.

La forme du ds 2 qui caractérise le système de coordonnées galiléennes dans l'Univers de Minkowski est (D, 5): ds 2 = dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2 - c 2 dt 2

En introduisant l'unité imaginaire i on peut le mettre sous la forme rigoureusement euclidienne: ds 2 =dx 1 2 +dx 2 2 + dx 3 2 + dx 4 2

La forme générale du ds 2 correspondant au réseau à maille quadridimensionnelle arbitraire dans l'espace à quatre dimensions est: ds 2 = g 11 dx 1 2 +... + g 44 dx 4 2 +2 g 12 dx 1 dx 2 +... + 2 g 34 dx 3 dx 4 Elle a seize coefficients g μν pour lesquels on a, comme dans le cas de la surface (D, 4): g μν = g μν; il ne reste donc que dix coefficients à fixer: g 11, g 22, g 33, g 44, g 12, g 13, g 14, g 23, g 24, g 34. Ces valeurs g μν sont appelées les dix potentiels de gravitation; elles caractérisent en effet le réseau de coordonnées employé et par suite le champ de gravitation qui lui correspond. Dans le cas particulier des coordonnées galiléennes ci-dessus, leurs valeurs sont: g 11 = g 22 =g 33 = g 44 = 1, g μν = 0 pour μ y;

elles caractérisent l'absence de champ de gravitation du système galiléen, nous disons, le champ de gravitation nul.

La structure géométrique de l'Univers réel, nous pourrions dire d'une façon plus précise sa courbure totale dans le voisinage de chaque événement, en entendant par là une notion analogue à celle introduite plus haut pour les surfaces, est évidemment absolue en présence d'une répartition donnée de la matière et de l'énergie. Elle ne saurait en effet dépendre du choix du système de coordonnées que le mathématicien adopte. Par suite lorsque les potentiels de gravitation g μν changent avec le choix arbitraire du réseau des coordonnées, les valeurs de ces potentiels doivent rester compatibles avec une même structure de l'Univers. C'est dire que les g μν sont nécessairement assujettis à certaines liaisons, tout comme plus haut les systèmes des g μν possibles sur une surface donnée, satisfont une même équation différentielle.

Les équations exprimant ces liaisons qui doivent exister entre les dix potentiels de gravitation, pour que ceux-ci, dans un changement arbitraire des coordonnées, se modifient en restant compatibles avec une même structure de l'Univers, quelle que soit d'ailleurs celle-ci, constituent la nouvelle loi de la gravitation. Pour trouver cette loi, Einstein n'a eu que les deux données suivantes:

1°A distance infinie de toute matière ou énergie, l'espacetemps doit être euclidien.

2°La loi générale de la conservation de l'impulsion et de l'énergie doit être satisfaite.

Il est remarquable que ces deux conditions aient suffi pour déterminer la loi.

8. La formulation des lois physiques au moyen des tenseurs.

Ce que nous venons de dire pour la gravitation est vrai aussi naturellement pour les autres lois physiques, c'est-à-dire pour les autres lois qui régissent la géométrie de l'Univers réel. De même que dans la formulation des lois de la géométrie d'une surface courbe, les trois grandeurs g 11, g 12, g 22, caractéristiques du réseau de coordonnées employé, entrent pour rendre ces lois covariantes avec le réseau choisi, parce que ces lois doivent être indépendantes du système de référence, sur la surface, auquel on les rapporte; de même sur l'Univers réel, les dix g μν potentiels de gravitation, sont les grandeurs caractéristiques, caractérisant le champ de gravitation ou donc le réseau de coordonnées choisi, qui doivent entrer dans l'expression des lois physiques pour les rendre covariantes vis-à-vis de ce réseau, c'est-à-dire indépendantes du système de référence auquel on les rapporte.

Cette formulation des lois physiques, gravitation comprise, au moyen des g μν, valable pour tout système de coordonnées possible, se fait au moyen d'un concept mathématique nouveau, récent, mais également antérieur à la relativité. C'est le concept de tenseur, d'où est issu le calcul différentiel absolu, créé par Riemann et Christoffel, développé par Ricci et Levi-Civita.

Un tenseur est un ensemble de grandeurs de même nature, inséparable les unes des autres, qui sont dites les composantes du tenseur. La propriété fondamentale des tenseurs est la suivante: quand toutes les composantes d'un tenseur sont nulles ou sont respectivement égales aux composantes d'un autre tenseur, dans un système de coordonnées fixé, elles sont encore toutes nulles, ou égales aux composantes de l'autre tenseur, dans tout autre système de coordonnées arbitrairement choisi. Par suite une loi formulée par l'annulation d'un tenseur, c'est-à-dire l'annulation de toutes ses

composantes, relativement à un système de coordonnées fixé, se trouve formulée par rapport à tout système de coordonnées; autrement dit cette loi est indépendante du système de coordonnées choisi. Une loi formulée par l'égalité de deux tenseurs, c'est-à-dire l'égalité de leurs composantes respectives, est également indépendante du système de coordonnées, puisque l'égalité qui a lieu pour un système de coordonnées, a lieu pour tous les systèmes de coordonnées.

Le principe de la relativité généralisée revient alors à dire: Dans l'Univers réel, toutes les lois doivent pouvoir se mettre sous la forme tensorielle. L'ancienne loi de gravitation, la loi de Newton, ne peut pas se mettre sous forme tensorielle; il en résulte immédiatement qu'elle ne peut pas être la loi rigoureusement exacte.

9. La loi de la gravitation dans le vide.

Le tenseur fondamental de l'espace-temps, ou de l'Univers réel, est formé par les g μν, qui sont ses seize composantes: g 11 g 12 g 13 g 14 g 21 g 22 g 23 g 24 tenseur g 31 g 32 g 33 g 34 g 41 g 42 g 43 g 44 mais, comme nous l'avons dit, ce tenseur est symétrique: g μν = g μν; autrement dit il n'y a que dix composantes qui peuvent prendre des valeurs différentes.

En partant de ce tenseur fondamental, on forme un autre tenseur, appelé tenseur de Riemann-Christoffel, dont les composantes ont une expression très compliquée. On le désigne par la notation Comme avant le tenseur g μν avait seize composantes (les 4 2 arrangements avec répétition des quatre indices 1, 2, 3, 4 deux à deux), le tenseur a 256 composantes (les 4 4 arrangements avec répétition des quatre indices 1, 2, 3, 4 quatre à quatre). Mais je ne peux pas expliquer ici

pourquoi l'un des indices cette fois est écrit en haut, alors que les trois autres sont encore écrits en bas; je dirai seulement qu'il existe deux lois de transformation des composantes tensorielles lorsqu'on change de coordonnées, la loi de contrevariance et la loi de covariance; quand un indice est de caractère contrevariant, on l'écrit en haut; quant il est de caractère covariant, on l'écrit en bas.

On démontre alors que l'annulation du tenseur c'est-à-dire l'annulation de toutes ses composantes, est la condition nécessaire et suffisante pour que l'espace-temps soit euclidien, = 0 (2)

Les 256 équations représentées par (2) se réduisent d'ailleurs à 20 équations distinctes seulement.

Cette loi = 0 ne peut convenir que dans une région de l'espace située à l'infini de toute matière ou énergie; il faut donc chercher une relation tensorielle plus générale comportant (2) comme cas particulier, c'est-à-dire qui se trouve satisfaite lorsque = 0.

On part du tenseur à quatre indices ou du quatrième ordre; on construit un nouveau tenseur à deux indices ou du second ordre, en imposant au précédent la condition que les indices a et soient les mêmes. Cette opération s'appelle contraction et le nouveau tenseur, désigné par R μν, est dit le tenseur de Riemann-Christoffel contracté. L'annulation de ce tenseur contracté R μν = 0 (3) est la loi de gravitation dans le vide. Ce tenseur est évidemment symétrique, R μν =R μν; il ne reste donc que dix composantes distinctes, donc dix équations distinctes.

On constate que six seulement de ces équations sont indépendantes. C'est bien ce qui doit être en effet, car dix équations indépendantes détermineraient les dix g μν, et par conséquent spécifieraient non seulement la structure de l'espacetemps,

mais encore le système de coordonnées. Or ce système doit rester arbitraire; il est quatre fois indéterminé puisqu'il y a quatre coordonnées; il faut donc qu'il y ait entre les g μν quatre relations qui soient des identités.

En définitive la loi de la gravitation dans le vide comporte six conditions; c'est une restriction considérable imposée aux structures géométriques possibles de l'Univers.

10. La loi de la gravitation dans la matière.

L'équation (3) décrit la propriété la plus générale de la structure géométrique possible de l'Univers en un point où il n'y a ni matière ni énergie, c'est-à-dire dans ce que nous appelons le vide. En un tel point on ne fait que subir le champ de gravitation produit par la matière ou l'énergie qui l'environne. Mais en un point où il y a de la matière ou de l'énergie, non seulement on subit l'action du champ de gravitation environnant, mais ce point est lui-même source d'un champ de gravitation. Le problème est donc autre. En d'autres termes, Poisson a traduit analytiquement par une équation locale, valable en chaque point de l'espace, l'ancienne loi de Newton d'attraction proportionnelle à la masse et inversement proportionnelle au carré de la distance; il s'agit de remplacer cette équation de Poisson pour le cas du point en lequel la densité de la matière (ou énergie) est O.

On forme un tenseur du second ordre, le tenseur matériel ou tenseur impulsion-énergie que l'on désigne par T μν symétrique naturellement. C'est ce tenseur qui doit remplacer la densité qui figure dans l'équation de Poisson. D'ailleurs dans tous les cas où la matière est animée de l'une de nos vitesses ordinaires, très faibles par rapport à la vitesse de la lumière, la composante T 44 de ce tenseur est considérablement plus grande que les autres composantes et elle serait précisément égale à la densité de la matière, si l'on pouvait employer des coordonnées rigoureusement galiléennes.

On démontre que, pour que la loi générale de conservation de l'impulsion-énergie et la loi de gravitation dans le vide R μν = O soient satisfaites, il doit y avoir, à un facteur constant près, égalité entre le tenseur T μν et le tenseur R μν — R, R est un invariant (un tenseur d'ordre nul) qui s'obtient du tenseur R μν, tenseur de Riemann-Christoffel contracté, par une nouvelle contraction, et qui est une généralisation pour l'Univers de la notion donnée plus haut de la courbure totale d'une surface (D, 4, c); on l'appelle la courbure totale d'Univers. On doit donc avoir en tout point: (4) x étant une constante universelle.

Cette loi peut encore se mettre sous la forme suivante: (5) T étant un invariant qu'on construit à partir de T μν et que l'on trouve égal à , étant la densité au repos de la matière au point considéré, c'est-à-dire la densité qui serait mesurée par un observateur immobile par rapport à la matière.

Dans le vide T μν et T sont nuls, puisqu'il n'y a pas de matière et l'on retrouve bien la loi dans le vide R μν = O.

Si dans les dix équations représentées par (4) ou (5), on néglige les quantités qui sont très petites, on retrouve en première approximation la loi de Newton, et la constante se trouve déterminée en fonction de la constante connue C, constante d'attraction, qui figure dans la loi de Newton.

Dans le vide les dix équations R μν = O se réduisent à six conditions, à cause de quatre identités qui correspondent à la quadruple indétermination des coordonnées. En tout point où il y a de la matière ou énergie présente, les quatre identités correspondantes se trouvent encore vérifiées, parce

qu'elles résultent de la définition mathématique du tenseur R μν; mais comme les équations (4) ou (5) expriment une relation entre R μν et T μν, les quatre identités se changent en quatre équations entre les grandeurs qui forment le tenseur impulsion-énergie T μν. Le degré d'indétermination des coordonnées, c'est-à-dire le nombre de dimensions de l'Univers, impose donc à la matière un nombre égal de conditions qui doivent être nécessairement remplies. Il se trouve que ces quatre conditions constituent les lois fondamentales de conservation de la masse ou énergie et de la quantité de mouvement.

En définitive la loi de gravitation d'Einstein contient toute la dynamique nouvelle du point matériel libre. L'ancien principe d'inertie de Galilée disait: le point matériel libre se meut en ligne droite et avec une vitesse constante. D'autre part la ligne droite est la géodésique de l'espace ordinaire, c'est-à-dire la ligne d'espace minimum entre deux points fixés.

Dans la relativité restreinte, l'espace et le temps sont relatifs; seul est absolu l'espace-temps, Univers de Minkowski. Il est euclidien comme l'espace ordinaire et la géodésique dans cet Univers de Minkowski, correspondante à la droite dans l'espace ordinaire, est la ligne d'Univers du point matériel libre, c'est-à-dire du point animé d'un mouvement rectiligne et uniforme. Cette géodésique présente seulement par rapport à la droite une différence essentielle de maximum à minimum; elle est la ligne d'intervalle maximum entre deux événements fixés.

Dans la relativité généralisée, le point matériel libre suit encore une géodésique de l'Univers réel. Les astres, par exemple, suivent dans l'espace-temps leurs géodésiques naturelles, qui sont, en transposant le langage que j'emploie, valable sur une surface courbe à deux dimensions, au complexe espace-temps courbe à quatre dimensions, les lignes de plus grande longueur tracées sur le complexe. Les champs de gravitation

au travers desquels passent les astres sont pour nous la manifestation de la courbure de ces lignes, courbure conditionnée par la courbure locale de l'Univers. La matière présente ou voisine, source du champ de gravitation, n'est pas même, selon Eddington, le facteur produisant la courbure, mais directement pour nous l'élément de perception de cette courbure.

11. Les hypothèses sur la structure géométrique de l'Univers, en particulier sur la courbure de l'espace et du temps.

Reprenons une surface courbe dans notre espace ordinaire à trois dimensions et le réseau de coordonnées x 1 et x 2, au moyen duquel nous fixons la position des points sur la surface. Toute ligne tracée sur la surface est également courbe dans notre espace à trois dimensions. En particulier le lieu des points pour lesquels l'une des coordonnées est constante, autrement dit la coupe de la surface à x 1 ou x 2 constante, est courbe; c'est d'ailleurs l'une des courbes du réseau de coordonnées. Ainsi, par exemple, la coupe de la sphère à longitude constante (D, 4, b) est un méridien, c'est-à-dire un cercle dans l'espace à trois dimensions.

L'Univers réel est courbe dans un espace à cinq dimensions d'une façon analogue à une surface courbe dans notre espace ordinaire. La coupe que nous faisons dans cet Univers en gardant l'une ou plusieurs des quatre coordonnées, x 1, x 2, x 3, x 4 constantes est courbe également dans l'espace à cinq dimensions. Si nous pouvons séparer les coordonnées d'espace x, y, z de celle du temps t, comme elles le sont dans le système de coordonnées galiléennes pour l'Univers de Minkowski, la coupe de l'Univers à temps t constant est l'espace pour cet instant t considéré; la coupe pour x, y, z constants est le temps qui s'écoule pour le point d'espace fixé par x,

y, z. Les courbures particulières de l'espace et du temps sont celles qui résultent de la structure géométrique admise pour l'Univers et du système de référence espace-temps que l'on peut y découvrir.

Dans le but de déterminer cette structure géométrique de l'Univers réel, Einstein a d'abord modifié quelque peu, par des considérations basées sur la théorie de l'électromagnétisme, la loi de gravitation qu'il avait primitivement donnée et que nous avons exposée dans les deux paragraphes précédents. Il a posé: où R μν est le tenseur de Riemann-Christoffel contracté et λ, une constante universelle, d'ailleurs extrêmement petite. La loi de gravitation dans le vide doit être: R' μν = O au lieu de R μν = O; et la même loi, en tout point où se trouve de la matière ou de l'énergie électromagnétique, doit être: au lieu de où R' est l'invariant R - 4 λ et T' μν est le tenseur total d'énergie, soit le tenseur d'impulsion-énergie matérielle T μν augmenté du tenseur d'énergie électromagnétique. Alors que dans la loi primitive, la courbure totale R était nulle dans le vide et égale à dans la matière (formule 5), dans la nouvelle loi, la courbure dans le vide est la constante R 0 = 4 λ et la courbure dans la matière est R = R 0 + 0. A part cela rien n'est changé à la théorie; la nouvelle loi entraîne comme la précédente, la conservation de l'impulsion et de l'énergie et le terme correctif étant très petit comme nous l'avons dit, on peut le supposer nul dans toutes les applications astronomiques.

D'autre part le fait que les vitesses relatives des astres sont toujours extrêmement petites par rapport à la vitesse de la lumière, a permis d'envisager un système de référence dans lequel la matière est en moyenne au repos, est quasi-stationnaire. Si l'on cherche l'aspect d'ensemble de l'Univers rapporté à ce système, en négligeant les perturbations locales dues à la distribution irrégulière de la matière et qui sont comparables au relief du sol par rapport à la forme d'ensemble de la terre, la nouvelle loi comporte essentiellement deux solutions, l'une donnée par Einstein et l'autre par de Sitter. Dans les deux solutions la coupe de l'Univers à temps constant est à courbure constante positive. C'est dire que l'espace à trois dimensions, ensemble des points où ont lieu les événements, est courbe d'une manière analogue à la sphère dans notre espace ordinaire. Cet espace est donc fermé et fini, bien qu'illimité comme l'est la sphère.

Ce résultat résoud des difficultés graves que comporte l'ancienne conception de l'espace infini. Doit-on admettre que dans cet espace illimité la matière est répandue partout avec une densité moyenne constante? Ce serait admettre une quantité infinie de matière. On peut démontrer que dans ce cas la loi d'Einstein, comme celle de Newton, conduisent à des résultats contradictoires. Doit-on admettre que l'espace a une sorte de centre, une région dans laquelle la densité de la matière est maximum et autour de laquelle la matière va en se raréfiant jusqu'au vide complet. La matière formerait une ie dans l'espace infini. Mais alors toute l'énergie rayonnante sortie de cette île se propagerait à l'infini sans retour possible et se dissiperait. La matière elle-même se disperserait donc peu à peu, comme l'atmosphère d'un astre qui s'évapore dans l'espace avec le temps. Puisque il y a encore de la matière, ce serait donc que la matière n'existe que depuis un temps limité? Ce point de vue conduit également à des contradictions; seul l'espace fermé auquel conduit la relativité, résoud convenablement ces difficultés.

L'Univers d'Einstein est courbe dans un espace à cinq

dimensions à la manière d'une surface cylindrique dans notre espace ordinaire. L'espace fermé, sphérique (ou elliptique 7), où ont lieu les événements, correspond à la coupe perpendiculaire aux génératrices du cylindre. Le temps correspond aux génératrices rectilignes du cylindre; il n'a donc pas de courbure. Ainsi, dans l'Univers d'Einstein, la séparation entre l'espace et le temps est rétablie; il constitue même un retour à l'espace et au temps absolus. Mais c'est un absolu dont nous n'avons pas connaissance, au-delà de l'espace et du temps relatifs que nous mesurons, qui sont variables d'un système galiléen à un autre et d'un point à un autre dans un champ de gravitation.

L'Univers de de Sitter est courbe dans un espace à cinq dimensions à la manière d'une surface hyperbolique dans notre espace ordinaire. La coupe à temps constant est encore un espace sphérique ou elliptique; mais il y a aussi une courbure du temps. L'espace et le temps restent unis; c'est la relativité dans toute sa plénitude.

La différence entre les deux conceptions d'Einstein et de de Sitter est radicale aussi en ce qui concerne le rôle joué par la matière. L'Univers de de Sitter a une courbure naturelle qui n'est pas conditionnée par la matière mondiale. La matière intervient seulement pour modifier localement la courbure, sans changer la courbure d'ensemble et sans modifier son rayon. En d'autres termes l'Univers a une existence et une forme d'ensemble indépendantes de la matière qu'il contient; si cette matière disparaissait, l'Univers subsisterait avec le même rayon; seules les rides dues aux condensations locales disparaîtraient.

Dans l'hypothèse d'Einstein au contraire, c'est la matière mondiale qui détermine la courbure moyenne de l'Univers, c'est-à-dire de l'espace seul, puisque le temps est rectiligne.

La formule qui lie le rayon U de l'espace à la masse totale de la matière mondiale M est:

Ainsi, si par un miracle de la matière venait à être créée dans l'espace existant, le volume de cet espace augmenterait. La matière crée en quelque sorte l'espace qui la contient; s'il n'y avait pas de matière, il n'y aurait pas d'Univers.

On établit que l'Univers d'Einstein, à l'encontre de celui de de Sitter, nécessite l'existence de quantités de matière de beaucoup supérieures à celles que nous connaissons. Mais cette exigence n'a rien d'invraisemblable, car seule la matière lumineuse se révèle à nous; nous ne connaissons pas les mondes obscurs qui peuvent exister, d'une part les amas de matière très peu condensés et d'autre part les étoiles éteintes qui peuvent être très nombreuses.

Les géodésiques de l'Univers d'Einstein émanées d'un même point se coupent au point antipode et reviennent au point de départ, comme les grands cercles d'une sphère. Les rayons lumineux qui en tant que mobiles libres suivent une géodésique, pourraient donc après s'être concentrés au point antipode, se concentrer de nouveau au point de départ ; la source lumineuse d'ailleurs ne s'y trouverait plus s'étant déplacée pendant le temps, des billions ou des trillions d'années peut-être, que demanderait la lumière pour faire le tour de l'Univers. Beaucoup d'étoiles ne seraient que des fantômes d'un passé très reculé. Mais cette conception est peu vraisemblable; il est bien probable que la lumière serait absorbée dans un pareil voyage par la matière répandue dans l'espace.

Enfin, la courbure du temps dans l'Univers de de Sitter a une conséquence remarquable. Le temps qui s'écoule entre deux événements qui se produisent en un même point de l'espace paraît à un observateur d'autant plus long que le point est plus voisin pour lui d'une certaine zone où le temps est stationnaire. Cette zone du temps stationnaire est relative

à l'observateur en question; l'observateur ne perçoit pas le temps propre de cette zone parce que ce temps et le sien sont orthogonaux. Cela ne signifie pas que le cours du temps soit arrêté dans cette zone; si l'observateur s'y transportait, il trouverait, selon le mot d'Eddington, que la Nature y est aussi active que partout ailleurs et c'est son ancienne demeure qui lui paraîtrait immobilisée dans un repos éternel. On se demande si le déplacement des raies spectrales vers le rouge, des nébuleuses spirales qui sont des mondes extrêmement lointains, ne seraient pas la manifestation de ce ralentissement apparent du temps, qui pourrait se manifester pour nous sur de si grandes distances.

E. CONCLUSION.

L'homme est un égocentriste incorrigible. Aux débuts de l'humanité il s'est crû debout sur une terre plate, immense, immobile, avec des astres tournant dans le ciel pour marquer et réchauffer ses jours et ses nuits. Il a perdu bien vite cette première illusion pour constater que le bas et le haut qu'il rapportait à lui n'existaient pas, que la terre était ronde, que d'autres hommes vivaient dans des situations renversées par rapport à la sienne, attachés comme lui tout naturellement à cette terre, qui restait d'ailleurs pour lui le centre du monde et des astres gravitant autour d'elle. Plus tard, il a perdu cette seconde illusion plus considérable; il a dû reconnaître que la terre était une planète quelconque d'un système solaire qui en a de plus curieuses et de plus grandes.

Aujourd'hui, il sait que l'Univers n'a pas de centre, que notre système solaire est lui-même perdu dans un nombre fantastique de systèmes analogues constituant à leur tour les galaxies dont je parlais au début. Bien plus il sait que ce n'est là qu'une répétition de la matière, qui dans ses éléments infiniment petits a également ses planètes et ses noyaux

solaires en nombre inimaginable. Enfin pour le rendre plus humble encore, on lui dit que l'espace et le temps, ces vieux cadres rigides dans lesquels il se mouvait et auxquels il rapportait tout, s'en vont définitivement; que l'espacetemps qui demeure absolu n'est pas ce qu'il avait cru d'abord, analogue à l'espace plan euclidien, mais courbe et ridé peutêtre comme la terre sur sa surface. Quand donc aurons-nous fini de perdre nos illusions ?

Et pourtant il n'y a là rien d'étrange. L'homme a une âme créée à l'image de Dieu. C'est d'elle que lui vient sa soif inextinguible de l'absolu. Il veut l'absolu dans son savoir, l'absolu dans son plaisir, parfois l'absolu dans ses peines. Il croit invinciblement à sa grandeur et à son importance et pourtant en face de la nature il est ridiculement petit. Il aspire à tout, et doit constamment déchanter. Lamartine l'a dit magnifiquement:

Borné dans sa nature, infini dans ses voeux,
L'homme est un dieu tombé qui se souvient des cieux.

Il y doit retourner; là seulement avec Dieu, en dehors du temps et de l'espace matériels qu'il mesure péniblement, il se sentira réellement grand et sa soif s'éteindra.