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REFLEXIONS SUR L'ENSEIGNEMENT ET LA RECHERCHE EN MATHÉMATIQUES

Dans un article bien connu, consacré à l'avenir des mathématiques, André Weil écrit ce qui suit:

«La mathématique, telle que nous la connaissons, nous paraît l'une des formes nécessaires de notre pensée. L'archéologue, il est vrai, et l'historien nous révèlent des civilisations d'où elle fut absente. Sans les Grecs, il est douteux qu'elle eût jamais été plus qu'une technique, au service d'autres techniques; et peut-être voyons-nous se former sous nos yeux un type de société humaine où elle ne sera pas autre chose. Mais .à nous dont les épaules ploient sous l'héritage de la pensée grecque, à nous qui traînons encore nos pas dans les sillons tracés par les héros de la Renaissance, une civilisation sans mathématique semble inconcevable.»

Cette profession de foi ne peut que réjouir l'âme d'un mathématicien. Mais si l'on peut admettre que personne ne conteste le rôle, dans notre civilisation, de la spéculation mathématique libre et désintéressée, on doit sans doute trouver d'autres causes à l'intérêt que les gouvernements eux-mêmes portent à cette discipline.

La raison doit bien entendu en être recherchée dans le rôle qu'elles peuvent jouer dans la mathématisation d'autres disciplines de la science ou de la technique. Léonard de Vinci déjà, qui considérait les mathématiques comme le langage de la nature, avait une conscience exacte de la place qu'elles allaient occuper en mécanique rationnelle et en physique. Au cours des vingt dernières années, elles se sont introduites comme un moyen d'analyse et d'expression efficace dans des disciplines telles que la linguistique, la psychologie, la gestion, voire la musique. L'idée est généralement reçue qu'elles s'introduiront progressivement, comme un outil efficace, dans la plupart des domaines du savoir.

Pourtant, en dépit de l'importance qu'on accorde bon gré mal gré aux mathématiques, peu de gens se font une idée correcte de leur nature ou de leur méthode. La plupart gardent de l'enseignement qu'ils ont reçu ie souvenir d'une doctrine abstraite et austère, hermétique à quiconque n'a pas la fameuse

bosse des mathématiques. Alors que le profane admet sans autre la possibilité de découvertes quotidiennes en médecine, en biologie ou en physique, il est à tel point écrasé par le caractère fondamental de la mathématique qu'il la considère comme une doctrine immuable et que l'idée même d'une recherche en mathématique lui est un sujet d'étonnement. Reconnaissons que les mathématiciens eux-mêmes sont peu portés à s'expliquer sur ce sujet: ils font des mathématiques parce qu'ils sont mathématiciens et qu'il y a des mathématiciens; cette activité leur paraît littéralement vitale et de ce fait même dispensée de justification. On connaît le mot célèbre de Lagrange: «Les mathématiques, c'est comme le cochon, tout y est bon», ou encore cette belle pensée de Roger Godement: «Nous croyons que Hilbert réalisant la décomposition spectrale des opérateurs linéaires, Perrin analysant le bleu du ciel, Monet, Debussy et Proust recréant, pour notre émerveillement, le scintillement de la lumière sur la mer, travaillaient tous dans le même but, qui sera aussi celui de l'avenir: la connaissance de l'univers total.»

Quoi qu'il en soit, les mathématiques ont connu, dans les cinquante dernières années, un développement sans précédent. Le nombre des publications mathématiques, distribuées dans près de 200 revues, passe progressivement de 5000 à 10000 par an, malgré une exigence de qualité élevée. C'est assez dire qu'un mathématicien, même très doué, ne peut plus suivre les développements de la recherche mathématique que dans un secteur limité. Une situation analogue se retrouve, il est vrai, dans les autres sciences dont la recherche est réellement organisée. Encore ne peut-on pas perdre de vue qu'un compartimentage dû à une spécialisation excessive aurait probablement en mathématiques des conséquences plus néfastes. Hilbert, dont le génie pénétrait l'ensemble des mathématiques de son temps, l'affirmait en 1900 déjà: «La mathématique est un organisme dont la force vitale a pour condition l'indissoluble union de ses parties.»

On comprend sans plus d'explications que l'évolution rapide de la science mathématique et l'extension du champ des applications de la mathématique aux autres sciences exigera des adaptations des méthodes d'enseignement et de formation des chercheurs. Avant d'aborder ce problème, dans la seconde partie de mon exposé, il me paraît nécessaire de dégager quelques aspects fondamentaux des mathématiques actuelles et d'indiquer quelques tendances prévisibles.

Le développement considérable et même vertigineux des mathématiques au XXe siècle trouve son origine dans la mise en oeuvre, par Hilbert et son école, de ce qu'on a appelé la méthode axiomatique.

Pour en expliquer la signification, notre maître Ferdinand Gonseth avait coutume de se servir d'une fable, la fable de la boule dans la forêt.

On imagine la situation suivante: une boule de métal se trouve placée à l'intérieur d'une forêt et il s'agit de l'en faire sortir en la roulant entre les arbres.

En réfléchissant à ce problème pratique, on aperçoit bien vite que la possibilité d'en trouver la solution va dépendre d'un nombre limité de

circonstances particulières, tandis qu'un bon nombre d'autres données du problème vont être sans importance. Par exemple, il importera peu que les arbres soient des chênes ou des sapins. Les distances exactes entre les arbres n'interviendront pas non plus. Tout au plus devra-t-on savoir, pour chaque paire d'arbres voisins, si la distance qui les sépare est suffisante ou non pour permettre le passage de la boule.

Construisons donc un schéma de la forêt, dans lequel chaque arbre soit représenté par un symbole, par exemple une croix, les positions relatives des arbres étant respectées. La boule y sera représentée par un point dans un polygone déterminé du schéma. Définissons une relation dans ce schéma en reliant par un trait rouge les croix représentant des arbres si rapprochés que la boule ne pourrait passer entre eux. Le problème pratique posé est ramené au suivant: trouver un chemin joignant le point figurant la boule à un point de la ligne figurant la lisière de la forêt, de manière que ce chemin ne coupe aucun trait rouge. Et ce problème, s'il admet une solution, peut être résolu simplement. Après quoi il ne restera qu'à transposer cette solution dans la réalité de la forêt.

Cette fable met en évidence ce fait capital que la solution du problème posé ne dépend pas de la nature des objets qui interviennent — boule et arbres — mais simplement d'une relation existant entre eux, explicitée dans le schéma par le système des traits rouges. La réflexion porte donc sur un système de symboles dont la nature n'importe pas, entre lesquels on s'est donné (axiomatiquement) un système de relations. C'est en quoi la démarche du mathématicien se différencie par exemple de celle d'un physicien ou d'un chimiste pour lequel la nature des objets sur lesquels il réfléchit garde une valeur prépondérante.

C'est par le truchement de telles correspondances schématiques entre une réalité qu'on veut étudier et un schéma ou modèle mathématique que les mathématiques peuvent être mises au service d'autres disciplines du savoir.

Il n'est pas besoin d'insister longuement, par exemple, sur l'efficacité des modèles géométriques dressés par l'ingénieur ou l'architecte.

Un autre exemple bien connu nous est fourni par la dynamique, où il s'agit de déterminer la trajectoire d'un mobile placé dans un champ de forces donné. On construit un modèle mathématique dans lequel l'espace parcouru par le mobile est représenté par une fonction inconnue du temps. La vitesse étant alors représentée par la dérivée première et l'accélération par la dérivée seconde, la loi du mouvement se traduit dans le modèle mathématique par une équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer. Le problème une fois posé en ces termes, on s'efforce de le résoudre par des méthodes d'analyse mathématique ou au besoin d'analyse numérique qui n'ont plus rien à voir avec le problème de dynamique dont on est parti.

Pour d'autres applications, en psychologie par exemple, on s'appuie sur des modèles mathématiques dont le traitement relève du calcul des probabilités et de la statistique mathématique. On ne peut pas bien entendu s'attendre à trouver toujours dans l'arsenal des mathématiciens un modèle

correct préexistant, et l'adaptation d'un modèle à une situation donnée exige la coopération du psychologue et du mathématicien.

Mais c'est dans son application systématique aux théories des mathématiques classiques que la méthode axiomatique devait fournir ses résultats les plus importants, en permettant de dégager la notion de structure mathématique.

Considérons un être mathématique de nature complexe, par exemple l'ensemble des nombres réels. Dans une perspective classique, cet ensemble nous est donné par une construction explicite, par exemple le procédé des coupures. Ces nombres étant alors parfaitement définis, on en explore les propriétés, notamment:

— la possibilité de les soumettre au calcul, c'est-à-dire de définir les opérations d'addition, de multiplication, etc.;

— la possibilité de les ordonner, en définissant une relation du type a est plus petit que b;

— la possibilité de définir dans l'ensemble une notion de voisinage, de limite, de continuité.

Dans la perspective axiomatique, on tentera de se libérer d'une construction explicite particulière et l'on se posera le problème en ces termes: étant donné un système de symboles dont la nature n'est pas précisée, quelles relations doit-on poser (axiomatiquement) pour que ce système s'identifie avec l'ensemble des nombres réels. Cette caractérisation axiomatique des réels apportera ce résultat important qu'on saura de toute propriété des nombres réels qu'elle découle de ces axiomes par l'application des seules règles de la logique.

En fait, les champions de la méthode axiomatique, ne s'en sont pas tenus longtemps à ces caractérisations axiomatiques par exemple de l'ensemble des nombres réels ou des propriétés de la géométrie euclidienne. Ils ont accompli un pas décisif en étudiant des schémas dont les axiomes ne caractérisaient pas les éléments de manière essentiellement unique.

Supposons par exemple qu'on se donne un système arbitraire de symboles et qu'on y définisse axiomatiquement deux opérations jouissant des mêmes propriétés formelles que l'addition et la multiplication des nombres réels. De tels systèmes existent puisque précisément l'ensemble des réels en est un exemple. Mais on peut voir que ce schéma admet d'autres réalisations très différentes, ne comportant par exemple qu'un nombre fini d'éléments. On dira que ce schéma définit la structure de corps algébrique et de tout ensemble réalisant les propriétés du schéma on dira qu'il est muni d'une structure de corps. C'est l'exemple d'une structure algébrique fondamentale.

L'étude de tels schémas multivalents, c'est-à-dire admettant des réalisations essentiellement différentes, est la démarche qui distingue les mathématiques «modernes» des mathématiques «classiques».

L'étude systématique des théories classiques dans cette perspective a conduit à la définition d'une véritable hiérarchie de structures, obtenues par spécialisation successive à partir de quelques structures fondamentales — structures algébriques, structure d'ordre, structures topologiques. Chacune de ces structures fondamentales est étudiée pour elle-même dans un chapitre de mathématique abstraite, où sont établies toutes les propriétés qui découlent des seuls axiomes de la structure. On particularise ensuite la structure en enrichissant la liste des axiomes, chaque nouvel axiome entraînant sa moisson de conséquences.

Cette réorganisation axiomatique des théories classiques a modifié profondément la vision que les mathématiciens avaient de leur discipline. Elle a affirmé l'unité profonde des mathématiques par l'identité de la méthode, qui consiste à dégager les structures sous-jacentes d'une théorie. Elle a dégagé la parenté profonde de domaines autrefois séparés par des langages différents et motivé ces rapprochements inattendus dont les grands mathématiciens avaient eu l'intuition. Enfin, elle a fait apparaître de manière impressionnante l'architecture de l'univers mathématique, en substituant à la division artificielle algèbre-géométrie une organisation gouvernée par le principe de la hiérarchie des structures.

Mais là ne se borne pas la contribution de la méthode axiomatique. En effet, ces structures sont des outils pour le mathématicien; lorsqu'il reconnaît, entre les éléments qu'il étudie, des relations satisfaisant aux axiomes d'une structure d'un type connu, il peut appliquer à son étude les théorèmes généraux relatifs aux structures de ce type au lieu d'avoir à imaginer des moyens d'attaque qui risquent fort de s'encombrer d'hypothèses inutilement restrictives provenant des particularités du problème étudié.

Il faut maintenant préciser que ce travail d'analyse et de réorganisation dans une perspective axiomatique n'est qu'une faible part de l'activité mathématique actuelle. Les grandes théories classiques n'ont nullement épuisé leur pouvoir de fascination et provoquent d'innombrables recherches spécialisées apportant leur moisson de résultats nouveaux. Les grands problèmes laissés en suspens par nos devanciers restent les ferments de la vie mathématique.

Si nous nous tournons maintenant vers l'avenir, nous verrons se développer de manière impressionnante les conséquences de la révolution qu'ont apportée voici une vingtaine d'années les calculatrices électroniques dans le traitement des problèmes numériques.

Pendant le XIXe siècle et le début du XXe siècle, les mathématiques concrètes ont été représentées par des techniques mineures, graphiques en particulier, connues seulement de milieux ayant des problèmes précis, et ceci essentiellement à cause de l'inefficience des méthodes de calcul. Les forces créatrices, attirées par le succès de l'analyse, ont négligé ce secteur des mathématiques concrètes, mais il est certain que l'existence des calculatrices électroniques, qui réduit les durées d'exécution des calculs dans un rapport de 1 à 1 million et les coûts d'exécution dans un rapport de 1 à 1000 va bouleverser cet état de choses.

On pourrait imaginer que l'influence de ce facteur nouveau se traduira uniquement par le développement des mathématiques appliquées et restera sans conséquences pour les mathématiques fondamentales. Il n'en sera rien. Maintenant déjà, les progrès obtenus dans les mathématiques de l'approximation exigent une liaison de plus en plus étroite entre certains de ces problèmes et des chapitres de mathématiques abstraites, spécialement l'analyse fonctionnelle.

Dans d'autres sujets d'applications des calculatrices électroniques, dans le domaine de la gestion automatique, ou celui de la documentation automatique, ou celui encore de la linguistique et de la traduction automatique, un intense travail de réflexion sur les méthodes employées est en cours. Aux dires des spécialistes, il devrait être possible, d'ici une dizaine d'années, de développer un corps de doctrine et les notions mathématiques indispensables. Ces théories auront droit de cité, au sein des mathématiques fondamentales, au même titre que celles qui nous ont été léguées par la tradition mathématique.

Concluons ce rapide aperçu de l'activité globale des mathématiques par la vision qu'en donne Bourbaki:

«Ainsi peut-on mieux prendre conscience de la vie interne de la mathématique, de ce qui fait à la fois son unité et sa diversité; telle une grande cité, dont les faubourgs ne cessent de progresser, de façon quelque peu chaotique, sur le terrain environnant, tandis que le centre se reconstruit périodiquement, chaque fois suivant un plan plus clair et une ordonnance plus majestueuse, jetant à bas les vieux quartiers et leurs dédales de ruelles, pour lancer vers la périphérie des avenues toujours plus directes, plus larges et plus commodes.»

Voyons maintenant les conséquences que ces transformations en mathématique sur le plan scientifique ont entraînées dans l'enseignement de cette discipline à tous les niveaux.

Dans certains gymnases, les programmes ont été profondément modifiés par l'introduction de mathématiques dites modernes. A notre avis, l'élément déterminant doit être ici l'esprit moderne de l'enseignement bien plus que la quantité de mathématique abstraite proposée à la délectation des élèves.

Dans l'histoire de la pensée scientifique, l'introduction du point de vue axiomatique en tant que méthode d'analyse d'une situation mathématique est un événement de première importance; et il est hors de question qu'un enseignement gymnasial doit faire sa place à ce point de vue. Mais l'accent, me semble-t-il, doit être mis sur la construction du schéma à partir de situations concrètes, autrement dit sur l'émergence des structures et leur mise en évidence plutôt que sur le jeu déductif à partir d'une base axiomatique posée gratuitement.

Quoi qu'il en soit, il faut considérer ces innovations comme des expériences courageuses et intéressantes, d'où sortira un réel progrès, pour autant qu'on sache en apprécier objectivement les succès et les échecs. Il s'agit là d'un problème pédagogique où la qualité de la science exposée n'est pas seule en cause et où les facultés d'abstraction des élèves imposeront sans doute des limites naturelles.

On ne pourra pas négliger non plus ce fait que pour un bon nombre d'étudiants, les connaissances acquises au gymnase constitueront leur seul bagage mathématique. La compréhension de quelques théories de base —algèbre linéaire, calcul des probabilités, éléments de calcul différentiel et intégral — et l'acquisition solide des techniques de calcul occuperont donc, comme par le passé, une place prépondérante dans les programmes.

Au niveau universitaire, une situation de fait s'est progressivement imposée, qui est la suivante: une période normale d'études s'étendant sur huit Semestres ne permet plus sur aucun point de mener les étudiants jusqu'aux frontières mouvantes entre le connu et le domaine de la recherche. La licence correspond à un niveau assez bien défini de formation générale, qui ne devrait négliger aucun des domaines fondamentaux que sont l'algèbre, l'analyse, la topologie, le calcul des probabilités et la statistique mathématique, enfin l'analyse numérique. La spécialisation en vue de la recherche fondamentale, dont nous reparlerons, exige un effort personnel de préparation supplémentaire de trois à quatre semestres, au cours desquels l'étudiant s'introduit dans son domaine par l'étude de la littérature spécialisée. Des enseignements de troisième cycle sont actuellement mis sur pied pour soutenir les candidats dans cet effort et leur permettre d'élargir parallèlement leur culture mathématique.

Dans l'avenir, l'enseignement devra tenir compte d'un fait nouveau, lié à l'importance que prendront les mathématiques concrètes. Il y a peu d'années encore, les porteurs d'une licence en mathématiques se destinaient pour la plupart à l'enseignement secondaire ou gymnasial; quelques-uns, particulièrement doués pour la recherche, se préparaient à une carrière universitaire; une minorité d'entre eux trouvaient à s'employer dans le domaine des assurances ou dans l'industrie. Depuis peu, et le phénomène va croissant, on peut en être certain, bon nombre d'entre eux s'orientent vers des carrières de mathématiques appliquées, qu'il s'agisse de centres de calcul ou de groupes de recherche dans d'autres disciplines auxquels ils seront associés. Des travaux de recherche intéressants les y attendent. L'enseignement préparant à la licence devra se compléter d'une initiation à la recherche dans des domaines variés, à des fins d'orientation. A cet effet, des séminaires plus nombreux devront être organisés, qui donneront aux étudiants l'occasion de travaux personnels et la possibilité de découvrir leurs goûts et talents les plus marqués.

Venons-en maintenant au problème de la recherche, qui constitue l'une des vocations fondamentales de l'Université. Nous constaterons que les conditions dans lesquelles elle s'exerce se sont radicalement transformées, pour plusieurs raisons.

Les unes sont de nature scientifique:

— le foisonnement des publications empêche qu'on puisse faire rapidement le point sur l'état d'une question, pour peu qu'il s'agisse d'une partie réellement vivante des mathématiques et non pas d'une spécialité trop étroite cultivée par un maître jusqu'à son dernier souffle; les travaux d'approche s'en trouvent indûment prolongés, et ceci est d'autant plus

fâcheux que la durée pendant laquelle un résultat est intéressant se raccourcit;

— l'accélération du progrès des connaissances et l'esprit de compétition acharnée qui anime ce qu'on peut, en mathématiques aussi, appeler la recherche de pointe entraînent cette conséquence que la littérature officielle se double d'une littérature ronéotypée à diffusion restreinte, voire d'une tradition orale, si bien qu'il est prudent d'entrer en contact avec Princeton ou Paris pour savoir ce qui se passe réellement dans tel domaine.

D'autres de ces raisons tiennent au recrutement des chercheurs:

La recherche était autrefois, selon une définition classique, un luxe offert par la société à quelques éléments particulièrement brillants. Elle est devenue le moteur du progrès économique et constitue un investissement dont on attend un rendement optimal.

Certes, comme le dit André Weil: «Dans notre science, les chercheurs de second ordre y ont un rôle plus mince qu'ailleurs, le rôle d'une caisse de résonance pour un son qu'ils ne contribuent pas à former.»

Cependant, on n'a pas trouvé encore moyen plus efficace de découvrir les talents que de les mettre à l'épreuve en donnant aux jeunes chercheurs l'occasion d'un travail personnel, dont les résultats sont souvent limités et parfois disproportionnés aux efforts qu'ils ont coûtés. Et l'augmentation du nombre des chercheurs, en elle-même nécessaire et réjouissante vu l'insuffisance de la relève des enseignants, pose le problème urgent d'un meilleur encadrement.

Ceci amène à poser une dernière question: les départements mathématiques de nos universités seront-ils à même de remplir les tâches qui ont été évoquées, à savoir:

— le renforcement de l'enseignement de base dans tous les domaines fondamentaux;

— la diversification des enseignements plus spécialisés correspondant aux besoins de formations variées et permettant d'assurer l'orientation des étudiants;

— la création d'un éventail de cours avancés nécessaires à la promotion d'une recherche attractive.

Dans les conditions actuelles, assurément non. Un substantiel accroissement du personnel enseignant, professeurs et assistants s'avérera nécessaire, mais plus encore une adaptation des conditions de travail. J'aimerais m'appuyer ici sur une étude très intéressante de M. Alexandre Grothendieck, l'un des maîtres de la pensée mathématique contemporaine. A son avis, l'intensification des activités de recherche et la multiplication des tâches d'enseignement exigeront une séparation claire de ces deux fonctions. Il dénonce l'union sacrée de ces deux formes d'activité au sein d'une même personne comme une conception dépassée, masquant les vrais problèmes et empêchant notamment

un recrutement satisfaisant des professeurs de l'Université: on engage sur la seule base de leur fécondité de chercheurs des gens auxquels on confiera essentiellement des tâches d'enseignants. Peut-être conviendra-t-il dans l'avenir de grouper dans un département de mathématiques une école de mathématiques responsable de l'enseignement et un institut de mathématiques voué uniquement à la recherche, une organisation souple permettant le passage temporaire d'un professeur de l'école à l'institut.

Bien entendu, l'urgence d'une telle organisation est moindre dans les modestes départements de nos universités. Mais il vaut la peine d'y réfléchir quand un maître de la pensée mathématique y voit la condition d'un enseignement et d'une recherche efficaces.

WERNER SÖRENSEN.